Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить дифференциальное уравнение второго порядка
Условие:
Решение:
Это задание из предмета математического анализа, раздела дифференциальных уравнений.
Задание: Решить дифференциальное уравнение второго порядка: y'' + 2y' + 10y = xe^x
Решение
1. Общий подход
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью xe^x, нужно найти общее решение y, которое состоит из суммы общего решения однородного уравнения y_h и частного решения неоднородного уравнения y_p:
y = y_h + y_p2. Решение однородного уравнения
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному уравнению:
y'' + 2y' + 10y = 0Характеристическое уравнение:
r^2 + 2r + 10 = 0Решим характеристическое уравнение:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3iРешения характеристического уравнения: r_1 = -1 + 3i и r_2 = -1 - 3i. Следовательно, общее решение однородного уравнения:
y_h = e^{-x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))3. Частное решение неоднородного уравнения
Ищем частное решение y_p в виде:
y_p = Ax e^x + B e^xПодставим y_p в исходное уравнение:
y_p' = A (xe^x + e^x) + B e^x = A xe^x + (A + B) e^x y_p'' = A (xe^x + 2e^x) + (A + B) e^x = A xe^x + 2A e^x + (A + B) e^x = A xe^x + (3A + B) e^xПодставим y_p, y_p' и y_p'' в y'' + 2y' + 10y = xe^x:
13A xe^x + (5A + 13B) e^x = xe^xПриравняем коэффициенты при одинаковых экспоненциальных функциях:
13A = 1 5A + 13B = 0Решим систему уравнений:
A = \frac{1}{13} B = -\frac{5}{169}Итак, частное решение:
y_p = \frac{1}{13} x e^x - \frac{5}{169} e^x4. Общее решение
Общее решение уравнения:
y = e^{-x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) + \frac{1}{13} x e^x - \frac{5}{169} e^xТаким образом, общее решение дифференциального уравнения:
y = e^{-x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) + \frac{1}{13} x e^x - \frac{5/169} e^x
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку