Решить дифференциальное уравнение, содержащее две переменные

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:
\frac{dy}{y+2} = -\frac{(2u+5)du}{u+2}.

Это дифференциальное уравнение, содержащее две переменные: (y) и (u). Давайте разберем его и решим.

Шаг 1. Разделение переменных

Уравнение уже разделено на две части: одна часть зависит только от (y), а другая — только от (u). Поэтому можно сразу приступить к интегрированию обеих частей:
\int \frac{1}{y+2} \, dy = -\int \frac{2u+5}{u+2} \, du.

Шаг 2. Интегрирование левой части

Интеграл от \frac{1}{y+2} легко вычисляется:
\int \frac{1}{y+2} \, dy = \ln|y+2| + C_1,
где (C_1) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 3. Интегрирование правой части

Рассмотрим интеграл \int \frac{2u+5}{u+2} \, du.
Разделим числитель на знаменатель:
\frac{2u+5}{u+2} = 2 + \frac{1}{u+2}.

Теперь интеграл можно записать как сумму двух интегралов:
\int \frac{2u+5}{u+2} \, du = \int 2 \, du + \int \frac{1}{u+2} \, du.

Первый интеграл:
\int 2 \, du = 2u.

Второй интеграл:
\int \frac{1}{u+2} \, du = \ln|u+2|.

Итак, правая часть принимает вид:
\int \frac{2u+5}{u+2} \, du = 2u + \ln|u+2| + C_2,
где (C_2) — произвольная константа.

Шаг 4. Объединение результатов

Теперь объединяем результаты интегрирования:
\ln|y+2| + C_1 = -(2u + \ln|u+2| + C_2).

Преобразуем, объединив константы:
\ln|y+2| = -2u - \ln|u+2| + C,
где (C = C_1 - C_2).

Шаг 5. Упрощение

Для упрощения можно записать решение в виде:
\ln|y+2| + \ln|u+2| = -2u + C.

Или, используя свойства логарифмов:
\ln|(y+2)(u+2)| = -2u + C.

Если требуется, можно выразить (y) явно, но это зависит от конкретной постановки задачи.

Ответ:
Общее решение уравнения:
\ln|(y+2)(u+2)| = -2u + C.