Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:
(1 + e^{x/y})dx + e^{x/y}(1 - \frac{x}{y})dy = 0

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения нужно проверить, является ли оно точным, либо привести его к точному виду.

Шаг 1. Проверка на точность уравнения

Общее уравнение вида:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Здесь:
M(x, y) = 1 + e^{x/y}
N(x, y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y})

Условие точности:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

Найдём частные производные:

1. \frac{\partial M}{\partial y}:
   M(x, y) = 1 + e^{x/y}.
   Производная \frac{\partial}{\partial y}:
   \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(1) + \frac{\partial}{\partial y}(e^{x/y}) = 0 + e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y}).

Вспомним, что \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y}) = -\frac{x}{y^2}, поэтому:
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x/y} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

2. \frac{\partial N}{\partial x}:
   N(x, y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}).
   Производная \frac{\partial}{\partial x}:
   \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x/y}\right)(1 - \frac{x}{y}) + e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(1 - \frac{x}{y}\right).

Вспомним, что \frac{\partial}{\partial x}(e^{x/y}) = e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y}) = e^{x/y} \cdot \frac{1}{y}, и \frac{\partial}{\partial x}(1 - \frac{x}{y}) = -\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y}) = -\frac{1}{y}.

Подставим:
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x/y} \cdot \frac{1}{y}(1 - \frac{x}{y}) + e^{x/y} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right).

Упростим:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{x/y}}{y}(1 - \frac{x}{y}) - \frac{e^{x/y}}{y}.

Раскроем скобки:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{x/y}}{y} - \frac{e^{x/y}x}{y^2} - \frac{e^{x/y}}{y}.

Сократим:
\frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

Сравним частные производные:

\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y},
\frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

Так как \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, уравнение является точным.

Шаг 2. Решение точного уравнения

Для точного уравнения существует потенциальная функция \Phi(x, y), такая, что:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x, y) и \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x, y).

Найдём \Phi(x, y).

Интегрируем M(x, y) по x:

\Phi(x, y) = \int M(x, y) dx = \int (1 + e^{x/y}) dx.

Разделим на два слагаемых:
\Phi(x, y) = \int 1 dx + \int e^{x/y} dx.

1. \int 1 dx = x.
2. \int e^{x/y} dx:
   Пусть u = \frac{x}{y}, тогда du = \frac{1}{y} dx, и dx = y \, du.
   Интеграл становится:
   \int e^{x/y} dx = \int e^u y \, du = y \int e^u du = y e^u + C = y e^{x/y} + C.

Итак:
\Phi(x, y) = x + y e^{x/y} + C(y), где C(y) — произвольная функция от y.

Найдём C(y) из условия \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x, y):

\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(x + y e^{x/y} + C(y)\right).

Производная:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y e^{x/y}) + \frac{\partial}{\partial y}(C(y)).

1. \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0.
2. \frac{\partial}{\partial y}(y e^{x/y}) = e^{x/y} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{x/y}).
   Вспомним, что \frac{\partial}{\partial y}(e^{x/y}) = e^{x/y} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right), тогда:
   \frac{\partial}{\partial y}(y e^{x/y}) = e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y}.
3. \frac{\partial}{\partial y}(C(y)) = C'(y).

Итак:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y} + C'(y).

Сравним с N(x, y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}):
e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y} + C'(y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}).

Сократим:
C'(y) = 0.

Значит, C(y) = \text{const}.

Ответ:

Общее решение:
\Phi(x, y) = x + y e^{x/y} = \text{const}.