Решить дифференциальное уравнение.

Пример 1:

Решить дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решить дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u·v, y' = u'v + uv'.
u·v+u·v'+u'v = x+e^-2x
или
u(v+v') + u'v= x+e^-2x
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v+v') = 0
2. u'v = x+e^-2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v+v' = 0
Представим в виде:
v' = -v
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -x
v = e^-x
2. Зная v, Находим u из условия: u'·v = x+e^-2·x
u'e^-x = x+e^-2x
u' = x·e^x+e^-x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u·v, получаем:
y = u·v = (C+(x-1)·e^x-e^-x)·e^-x
или
y = Ce^-x+x-1-e^-2x

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решить дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решить уравнение:

Решение от преподавателя:

Так как , то исходное уравнение однородное.

Полагаем   .

Тогда уравнение примет вид

Разделив обе части уравнения на , приходим к уравнению с разделëнными переменными:

Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл исходного уравнения в виде

Ответ: .

Пример 7:

Решить дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Уравнение имеет вид , где

причем

т.е. дано уравнение в полных дифференциалах.

Находим общий интеграл уравнения:

Получаем общий интеграл уравнения:

.

Ответ: .

Пример 8:

Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Решение от преподавателя: