Реши уравнение с разделяющимися переменными х умножить на корень из 1-у^2 умножить на dx + (1+x^2)dy =0

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнения с разделяющимися переменными

Нам дано уравнение:

 x \sqrt{1 - y^2} \, dx + (1 + x^2) \, dy = 0 

Это — дифференциальное уравнение первого порядка. Наша цель — решить его методом разделения переменных.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение, перенеся одно слагаемое в правую часть:

 x \sqrt{1 - y^2} \, dx = - (1 + x^2) \, dy 

Теперь разделим переменные: все, что связано с (x), оставим с (dx), а всё, что связано с (y), перенесём с (dy):

Разделим обе части на  \sqrt{1 - y^2}(1 + x^2) :

 \frac{x}{1 + x^2} \, dx = - \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy 

Шаг 2: Интегрируем обе части

Интеграл левой части:

 \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx 

Подстановка: пусть  u = 1 + x^2 , тогда  du = 2x \, dx , отсюда  \frac{1}{2} du = x \, dx 

Тогда:

 \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) 

Интеграл правой части:

 \int \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy = \arcsin y 

Учитываем знак минус:

 -\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy = -\arcsin y 

Шаг 3: Объединяем результат

 \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) = -\arcsin y + C 

Где  C  — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: (По желанию) Выразим  y 

Можно выразить  y  через  x :

 \arcsin y = -\frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C 

Тогда:

 y = \sin\left( -\frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \right) 

Ответ:

Общее решение уравнения:

 \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + \arcsin y = C 

или, эквивалентно (если выразить  y ):

 y = \sin\left( -\frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \right)