Решите уравнение методом Бернули

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка и в данной форме напоминает уравнение Бернулли, которое имеет вид: \[ y' + P(x)y = Q(x)y^n \] Наше уравнение имеет вид: \[ y' + \frac{2}{x}y = x^2 \] В данном уравнении нет члена \( y^n \), вместо него правую часть можно представить как \( x^2 = x^2 y^0 \), где n = 0.

Таким образом, приведем уравнение к стандартной форме уравнения Бернулли:

1. Записываем уравнение в стандартной форме уравнения Бернулли: \[ y' + \frac{2}{x}y = x^2 \]
2. Преобразуем уравнение так, чтобы избавиться от \( y^0 \): Для этого делаем замену \( y = uv \), где \( u = y \) (а значит у' = dy/dx). Это позволит нам получить уравнение линейного вида относительно u.
3. Найдем замену: \[ y = v \] Таким образом, уравнение преобразуется в: \[ y' = v' + v' \ln x \]
4. Подставим замену в уравнение: \[ v' + \frac{2}{x}v = x^2 \]
5. Теперь найдем интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = x^2 \]
6. Умножим это новое линейное уравнение на интегрирующий множитель \( \mu(x) = x^2 \): \[ (x^2)v' + v(x^2 \cdot \frac{2}{x}) = x^2 \cdot x^2 \] \[ (x^2)v' + 2xv = x^4 \]
7. Теперь выполним интегрирование каждой части уравнения: Левая часть уравнения: \[ \frac{d}{dx} (x^2 \cdot v) \] Правая часть уравнения: \[ x^4 \]
8. Интегрирование: \[ \int \frac{d}{dx} (x^2 \cdot v) dx = \int x^4 dx \] \[ x^2 v = \frac{x^5}{5} + C \]
9. Выразим \( v \): \[ v = \frac{x^5}{5x^2} + \frac{C}{x^2} \] \[ v = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \]
10. Найдем решение для \( y \): \[ y = v = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \]

Таким образом, решение дифференциального уравнения методом Бернулли следующее: \[ y = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \]