Решите уравнение методом Бернули

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка и в данной форме напоминает уравнение Бернулли, которое имеет вид: $\text{[}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n\text{]}$ Наше уравнение имеет вид: $\text{[}{y}^{\prime }+\frac{2}{x}y=x^2\text{]}$ В данном уравнении нет члена $\text{(}{y}^n\text{)}$, вместо него правую часть можно представить как $\text{(}{x}^2=x^2{y}^0\text{)}$, где n = 0.

Таким образом, приведем уравнение к стандартной форме уравнения Бернулли:

1. Записываем уравнение в стандартной форме уравнения Бернулли: $\text{[}{y}^{\prime }+\frac{2}{x}y=x^2\text{]}$
2. Преобразуем уравнение так, чтобы избавиться от $\text{(}{y}^0\text{)}$: Для этого делаем замену $\text{(}y=uv\text{)}$, где $\text{(}u=y\text{)}$ (а значит у' = dy/dx). Это позволит нам получить уравнение линейного вида относительно u.
3. Найдем замену: $\text{[}y=v\text{]}$ Таким образом, уравнение преобразуется в: $\text{[}{y}^{\prime }=v^{\prime }+v^{\prime }\ln x\text{]}$
4. Подставим замену в уравнение: $\text{[}{v}^{\prime }+\frac{2}{x}v=x^2\text{]}$
5. Теперь найдем интегрирующий множитель: $\text{[}\mu (x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^2\text{]}$
6. Умножим это новое линейное уравнение на интегрирующий множитель $\text{(}\mu (x)=x^2\text{)}$: $\text{[}(x^2)v^{\prime }+v(x^2\cdot \frac{2}{x})=x^2\cdot x^2\text{]}$ $\text{[}(x^2)v^{\prime }+2xv=x^4\text{]}$
7. Теперь выполним интегрирование каждой части уравнения: Левая часть уравнения: $\text{[}\frac{d}{dx}(x^2\cdot v)\text{]}$ Правая часть уравнения: $\text{[}{x}^4\text{]}$
8. Интегрирование: $\text{[}\int \frac{d}{dx}(x^2\cdot v)dx=\int x^{4}dx\text{]}$ $\text{[}{x}^{2}v=\frac{x^5}{5}+C\text{]}$
9. Выразим $\text{(}v\text{)}$: $\text{[}v=\frac{x^5}{5x^2}+\frac{C}{x^2}\text{]}$ $\text{[}v=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}\text{]}$
10. Найдем решение для $\text{(}y\text{)}$: $\text{[}y=v=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}\text{]}$

Таким образом, решение дифференциального уравнения методом Бернулли следующее: $\text{[}y=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}\text{]}$