Реши уравнение через замену y’=k

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (второго порядка, с приведением к уравнению первого порядка через замену)

Дано дифференциальное уравнение:

y'' + 2y(y')^3 = 0,
с начальными условиями:
y(2) = 0,
y'(2) = 1.

Шаг 1: Замена переменной

Сделаем замену:
y' = k(y),
тогда y'' = \dfrac{dk}{dx} = \dfrac{dk}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} = k'(y) \cdot k(y).

Подставим в уравнение:

k'(y) \cdot k(y) + 2y \cdot (k(y))^3 = 0

или:

k(y) \cdot \left( k'(y) + 2y \cdot (k(y))^2 \right) = 0

Шаг 2: Разделение на случаи

1. Первый случай: k(y) = 0
   Это означает y' = 0, то есть y = \text{const}.
   Но из условия y'(2) = 1, это не подходит.

2. Второй случай:
   k'(y) + 2y \cdot (k(y))^2 = 0

Шаг 3: Решим уравнение

Уравнение:

\dfrac{dk}{dy} = -2y \cdot k^2

Это уравнение с разделяющимися переменными:

\dfrac{1}{k^2} \, dk = -2y \, dy

Интегрируем обе части:

\int \dfrac{1}{k^2} \, dk = \int -2y \, dy

- \dfrac{1}{k} = -y^2 + C

или:

\dfrac{1}{k} = y^2 - C

Тогда:

k = \dfrac{1}{y^2 - C}

Шаг 4: Вернёмся к переменным x и y

Напомним, что k = y' = \dfrac{dy}{dx}, следовательно:

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{y^2 - C}

Снова уравнение с разделяющимися переменными:

(y^2 - C) \, dy = dx

Интегрируем:

\int (y^2 - C) \, dy = \int dx

\dfrac{y^3}{3} - C y = x + C_1

Шаг 5: Найдём константы по начальному условию

Условие:
y(2) = 0

Подставим в уравнение:

\dfrac{0^3}{3} - C \cdot 0 = 2 + C_1 \Rightarrow C_1 = -2

Теперь у нас:

\dfrac{y^3}{3} - C y = x - 2 — (*)

Теперь используем второе начальное условие:
y'(2) = 1

А мы знаем, что:

y' = \dfrac{1}{y^2 - C}

Подставим y = 0 (при x = 2):

1 = \dfrac{1}{0^2 - C} \Rightarrow C = -1

Шаг 6: Подставим C и C₁ в общее решение

Уравнение (*):

\dfrac{y^3}{3} + y = x - 2

или:

\dfrac{y^3}{3} + y - x + 2 = 0

Ответ:

Общее решение уравнения:

\dfrac{y^3}{3} + y = x - 2

Начальные условия учтены, решение удовлетворяет y(2) = 0 и y'(2) = 1.