Реши уравнение через y=dy/dx

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения, ОДУ)

Нам дано дифференциальное уравнение:

y = y' \cos^2 x \ln y,
а также начальное условие:
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.

Обозначим y' = \frac{dy}{dx} и решим уравнение.

Шаг 1: Перепишем уравнение

y = \frac{dy}{dx} \cdot \cos^2 x \cdot \ln y

Разделим обе части уравнения на \ln y (предполагаем, что \ln y \ne 0):

\frac{y}{\ln y} = \frac{dy}{dx} \cdot \cos^2 x

Теперь выразим \frac{dy}{dx}:

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\ln y \cdot \cos^2 x}

Шаг 2: Разделим переменные

Перепишем уравнение в виде:

\ln y \cdot \frac{dy}{y} = \frac{dx}{\cos^2 x}

Левая часть — это удобно для замены переменной. Обозначим u = \ln y, тогда y = e^u, и:

\frac{dy}{y} = du

Тогда левая часть:

\ln y \cdot \frac{dy}{y} = u \cdot du

Таким образом, уравнение принимает вид:

u \, du = \frac{dx}{\cos^2 x}

Шаг 3: Интегрируем обе части

\int u \, du = \int \frac{dx}{\cos^2 x}

Левая часть:

\int u \, du = \frac{u^2}{2}

Правая часть:

\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

Итак:

\frac{u^2}{2} = \tan x + C

Подставим обратно u = \ln y:

\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x + C

Шаг 4: Найдём постоянную интегрирования C

Используем начальное условие:
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1

Тогда \ln y = \ln 1 = 0, и:

\frac{(\ln 1)^2}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) + C

Но здесь возникает проблема: \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) не определён (стремится к бесконечности).
Следовательно, решение не определено в точке x = \frac{\pi}{2}.

Это означает, что начальное условие задано в точке, где правые части уравнения (и решение) не определены — это особая точка.

Вывод:

Общее решение уравнения:

\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x + C
или
\ln y = \pm \sqrt{2\tan x + 2C}
откуда
y = \exp\left(\pm \sqrt{2\tan x + 2C}\right)

Но: из-за особенностей функции \tan x решение не определено в точке x = \frac{\pi}{2}, поэтому начальное условие неприменимо.