Реши полностью найдя явный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:

 y' = \frac{x + 8y}{8x + y} 

Перепишем его в дифференциальной форме:

 \frac{dy}{dx} = \frac{x + 8y}{8x + y} 

1. Попробуем сделать замену переменных

Рассмотрим замену:

 v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} 

Подставим в уравнение:

 v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + 8vx}{8x + vx} 

Вынесем x в числителе и знаменателе:

 v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(1 + 8v)}{x(8 + v)} = \frac{1 + 8v}{8 + v} 

Перепишем уравнение:

 x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 8v}{8 + v} - v 

Приведем к общему знаменателю:

 x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 8v - v(8 + v)}{8 + v} 

 x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 8v - 8v - v^2}{8 + v} = \frac{1 - v^2}{8 + v} 

2. Разделение переменных

Перепишем:

 \frac{8 + v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x} 

Разделим дробь:

 \frac{8 + v}{(1 - v)(1 + v)} dv = \frac{dx}{x} 

Разложим в сумму простых дробей:

 \frac{8 + v}{(1 - v)(1 + v)} = \frac{A}{1 - v} + \frac{B}{1 + v} 

Умножим на знаменатель:

 8 + v = A(1 + v) + B(1 - v) 

Подставим  v = 1 :

 8 + 1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) \Rightarrow 9 = 2A \Rightarrow A = \frac{9}{2} 

Подставим  v = -1 :

 8 - 1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) \Rightarrow 7 = 2B \Rightarrow B = \frac{7}{2} 

Таким образом:

 \frac{9/2}{1 - v} + \frac{7/2}{1 + v} = \frac{dx}{x} 

3. Интегрирование

 \frac{9}{2} \int \frac{dv}{1 - v} + \frac{7}{2} \int \frac{dv}{1 + v} = \int \frac{dx}{x} 

 \frac{9}{2} \ln|1 - v| + \frac{7}{2} \ln|1 + v| = \ln|x| + C 

Объединим логарифмы:

 \ln \left| (1 - v)^{9/2} (1 + v)^{7/2} \right| = \ln|x| + C 

 (1 - v)^{9/2} (1 + v)^{7/2} = Cx 

Подставим  v = \frac{y}{x} :

 \left(1 - \frac{y}{x} \right)^{9/2} \left(1 + \frac{y}{x} \right)^{7/2} = Cx 

Приведем к общему знаменателю:

 \left(\frac{x - y}{x} \right)^{9/2} \left(\frac{x + y}{x} \right)^{7/2} = Cx 

 \frac{(x - y)^{9/2} (x + y)^{7/2}}{x^{(9/2 + 7/2)}} = Cx 

 \frac{(x - y)^{9/2} (x + y)^{7/2}}{x^8} = Cx 

Домножим на x^8:

 (x - y)^{9/2} (x + y)^{7/2} = Cx^9 

Это и есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.