Реши и интегрируй обе части и дай окончательный ответ

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:

\sqrt{3 + y^2} \, dx - y \, dy = x^2 y \, dy

Решение:

Перепишем уравнение в удобной форме:

\sqrt{3 + y^2} \, dx = (y + x^2 y) \, dy

Вынесем общий множитель y в правой части:

\sqrt{3 + y^2} \, dx = y(1 + x^2) \, dy

Разделим переменные, выразив dx через dy:

\frac{dx}{dy} = \frac{y(1 + x^2)}{\sqrt{3 + y^2}}

Это дифференциальное уравнение, которое можно решать методом разделения переменных.

Перепишем уравнение в виде:

\frac{dx}{1 + x^2} = \frac{y \, dy}{\sqrt{3 + y^2}}

Теперь интегрируем обе части.

Интегрирование левой части:

\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x

Интегрирование правой части:

Пусть u = 3 + y^2, тогда du = 2y \, dy, откуда y \, dy = \frac{du}{2}.

Тогда интеграл принимает вид:

\int \frac{y \, dy}{\sqrt{3 + y^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}}

= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} = \sqrt{3 + y^2}

Общий ответ:

\arctan x = \sqrt{3 + y^2} + C

Где C — произвольная константа интегрирования.