Решение задачи Коши с использованием операционного метода

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Операционный метод (Метод Лапласа)

Для решения задачи Коши с использованием операционного метода (метода Лапласа), необходимо выполнить следующие шаги:

Условие задачи:

Дано дифференциальное уравнение: x'' + 2x' = t \sin t, \quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 0.

Шаг 1: Применение преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа для функции x(t) обозначим как X(s). Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, учитываем, что:

• \mathcal{L}[x''(t)] = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0),
• \mathcal{L}[x'(t)] = s X(s) - x(0),
• \mathcal{L}[t \sin t] = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}.

Подставляем начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 0 в преобразования. Тогда преобразованное уравнение принимает вид:  s^2 X(s) + 2s X(s) = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. 

Шаг 2: Выражение для X(s)

Вынесем X(s) за скобки в левой части:  X(s) (s^2 + 2s) = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. 

Разделим обе части на (s^2 + 2s):  X(s) = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2 (s(s + 2))}. 

Шаг 3: Разложение на простые дроби

Для нахождения обратного преобразования Лапласа разложим X(s) на простые дроби. Представим дробь:  \frac{2s}{(s^2 + 1)^2 (s(s + 2))}. 

Разложение имеет вид:  \frac{2s}{(s^2 + 1)^2 (s(s + 2))} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 1} + \frac{Es + F}{(s^2 + 1)^2}. 

Определим коэффициенты A, B, C, D, E, F методом неопределённых коэффициентов. После вычислений получаем:  A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = 0, \quad E = 2, \quad F = 0. 

Таким образом:  X(s) = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. 

Шаг 4: Обратное преобразование Лапласа

Теперь найдём обратное преобразование Лапласа для X(s). Из таблицы преобразований Лапласа известно:  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2s}{(s^2 + 1)^2} \right] = t \sin t. 

Следовательно:  x(t) = t \sin t. 

Ответ:

Решение задачи Коши:  x(t) = t \sin t.