Решение задачи Коши

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и является задачей Коши.

Дано дифференциальное уравнение:

$y^{″}+2x{y}^{\prime }=\frac{2x^2}{1+x^2},$

с начальными условиями:

$y(0)=2,$
$y^{\prime }(0)=3.$

Для решения задачи Коши рассмотрим два шага: сначала найдем общее решение дифференциального уравнения, а затем найдем частное решение, используя начальные условия.

Шаг 1: Найдем общее решение.

Приведем уравнение к виду, который упростит его решение. Напишем уравнение в канонической форме, выберем метод его решения:

$y^{″}+2x{y}^{\prime }=\frac{2x^2}{1+x^2}.$

Мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных для решения этого уравнения. Для этого найдем функцию \(y_p\), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению. Для нахождения \(y_p\) рассмотрим правую часть уравнения:

1. В первой части уравнения мы видим, что правая часть уравнения является дробью.
2. Подставим $u=1+x^2,отсюдаdu=2xdx.$

Получаем:

$\frac{2x^2}{1+x^2}=\frac{2x^2}{u}.$

Мы можем использовать интеграл метода для нахождения функции \(y_p\), которая удовлетворяет этому уравнению. Мы можем интегрировать это, используя подстановку, и возвращаемся к переменной \(x\).

Функция подстановки:

$\int \frac{dx}{u}=\frac{\ln |1+x^2|}{u}$

Таким образом, \(y_p\) будет интегрирован для нахождения данного уравнения.

Шаг 2: Используем начальные условия для нахождения частного решения.

Используя начальные условия $y(0)=2$ и $y^{\prime }(0)=3$, подставим их в уравнение и найдем постоянные интегрирование для получения общего решения.

Таким образом, общее решение:

$y(x)=c_1+\ln (1+x^2),$

Где: \(с_1\) определяется с учетом исходных данных.

Подставляя начальные значения:

$у(0)=2$ --> (в x=0), c_1 уточняется и \(c_2\) будет интегрироваться.

Итак, начальные условия подставим и урегулируем общее финальное уравнение. \( (ответ проявляется через способ интегрирования и применение начальных условий для решения общей формулы) \)