Решение задачи Коши

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и является задачей Коши.

Дано дифференциальное уравнение:

y'' + 2x y' = \frac{2x^2}{1 + x^2},

с начальными условиями:

y(0) = 2,
y'(0) = 3.

Для решения задачи Коши рассмотрим два шага: сначала найдем общее решение дифференциального уравнения, а затем найдем частное решение, используя начальные условия.

Шаг 1: Найдем общее решение.

Приведем уравнение к виду, который упростит его решение. Напишем уравнение в канонической форме, выберем метод его решения:

y'' + 2x y' = \frac{2x^2}{1 + x^2}.

Мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных для решения этого уравнения. Для этого найдем функцию \(y_p\), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению. Для нахождения \(y_p\) рассмотрим правую часть уравнения:

1. В первой части уравнения мы видим, что правая часть уравнения является дробью.
2. Подставим u = 1 + x^2, отсюда du = 2x dx.

Получаем:

\frac{2x^2}{1 + x^2} = \frac{2x^2}{u}.

Мы можем использовать интеграл метода для нахождения функции \(y_p\), которая удовлетворяет этому уравнению. Мы можем интегрировать это, используя подстановку, и возвращаемся к переменной \(x\).

Функция подстановки:

\int \frac{dx}{u} = \frac{\ln|1+x^2|}{u}

Таким образом, \(y_p\) будет интегрирован для нахождения данного уравнения.

Шаг 2: Используем начальные условия для нахождения частного решения.

Используя начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 3, подставим их в уравнение и найдем постоянные интегрирование для получения общего решения.

Таким образом, общее решение:

y(x) = c_1 + \ln(1 + x^2),

Где: \(с_1\) определяется с учетом исходных данных.

Подставляя начальные значения:

у(0)=2 --> (в x=0), c_1 уточняется и \(c_2\) будет интегрироваться.

Итак, начальные условия подставим и урегулируем общее финальное уравнение. \( (ответ проявляется через способ интегрирования и применение начальных условий для решения общей формулы) \)