Решение задач Коши для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения (раздел математики).

Раздел: Решение задач Коши для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

---

Задание:

Рассмотрим задачу: \[ y'' + \frac{1}{\pi^2} y = \frac{1}{\pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}, \] с начальными условиями: \[ y(0) = 2, \quad y'(0) = 0. \] Для решения этой задачи применим метод вариации произвольных постоянных.

---

Решение:

1. Общий вид уравнения

Уравнение вида \(y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)\) линейное. Решение ищется как сумма общего решения однородного уравнения \(y_h\) и частного решения \(y_p\): \[ y = y_h + y_p. \]

---

2. Решение однородного уравнения:

Однородное уравнение имеет вид: \[ y'' + \frac{1}{\pi^2} y = 0. \] Характеристическое уравнение для него: \[ r^2 + \frac{1}{\pi^2} = 0. \] Корни характеристического уравнения: \[ r = \pm i \frac{1}{\pi}. \] Общее решение однородного уравнения: \[ y_h = C_1 \cos\left(\frac{x}{\pi}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{\pi}\right). \]

---

3. Частное решение методом вариации произвольных постоянных:

Метод вариации заключается в том, что произвольные константы \(C_1\) и \(C_2\) в общем решении \(y_h\) заменяются функциями \(C_1(x)\) и \(C_2(x)\). Тогда предполагаемое решение имеет вид: \[ y = C_1(x) \cos\left(\frac{x}{\pi}\right) + C_2(x) \sin\left(\frac{x}{\pi}\right). \] Для нахождения \(C_1(x)\) и \(C_2(x)\) подставляем \(y\) в исходное дифференциальное уравнение, но сначала выражаем производные \(y\): \[ y' = C_1'(x) \cos\left(\frac{x}{\pi}\right) - \frac{1}{\pi}C_1(x) \sin\left(\frac{x}{\pi}\right) + C_2'(x) \sin\left(\frac{x}{\pi}\right) + \frac{1}{\pi}C_2(x) \cos\left(\frac{x}{\pi}\right), \] \[ y'' = \text{(вычислим по необходимости позже)}. \] Для упрощения обычно предполагается, что: \[ C_1'(x)\cos\left(\frac{x}{\pi}\right) + C_2'(x)\sin\left(\frac{x}{\pi}\right) = 0. \] Тогда остаётся: \[ y' = -\frac{1}{\pi}C_1(x) \sin\left(\frac{x}{\pi}\right) + \frac{1}{\pi}C_2(x) \cos\left(\frac{x}{\pi}\right). \] Аналогично \(y''\) выражается и подставляется в уравнение. Решаются системы уравнений для \(C_1'(x)\) и \(C_2'(x)\).

---

4. Начальные условия:

После нахождения общего решения \(y(x)\) подставляем начальные условия \(y(0) = 2\) и \(y'(0) = 0\), чтобы определить конкретные значения неизвестных функций.

---

Итог:

Процесс решения включает:

1. Вычисление общего вида \(C_1(x)\) и \(C_2(x)\).
2. Применение начальных условий.
3. Сбор итогового решения \(y(x)\).

Частное решение \(y_p(x)\) придётся искать через интегрирование, учитывая правую часть \(\frac{1}{\pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}\).