Решение уравнений с использованием неявных производных

найти y’(1)

Уравнение: $\[y^{3} - 5 x y + 2 = 0 \]$

Необходимо найти первую производную $$y^{'} (x) $$ и вычислить её при $$x = 1 $$ и $$y (1) = 2 $$ .

Применяем правило дифференцирования сложных функций.

\[\frac{d}{d x} (y^{3}) = 3 y^{2} \cdot y^{'} \]

\[\frac{d}{d x} (- 5 x y) = - 5 (y + x \cdot y^{'}) \]

\[\frac{d}{d x} (2) = 0 \]

Теперь применим это к исходному уравнению:

\[3 y^{2} \cdot y^{'} - 5 (y + x \cdot y^{'}) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[3 y^{2} \cdot y^{'} - 5 y - 5 x \cdot y^{'} = 0 \]

Переносим все члены, содержащие $$y^{'} $$ , в одну сторону:

\[(3 y^{2} - 5 x) \cdot y^{'} = 5 y \]

Выражаем $$y^{'} $$ :

\[y^{'} = \frac{5 y}{3 y^{2} - 5 x} \]

Так как на условии $$y (1) = 2 $$ , подставляем эти значения в выражение для $$y^{'} $$ :

\[y^{'} (1) = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 1} \]

\[y^{'} (1) = \frac{10}{3 \cdot 4 - 5} \]

\[y^{'} (1) = \frac{10}{12 - 5} = \frac{10}{7} \]

$\[y^{'} (1) = \frac{10}{7} \]$

Время — это деньги!