Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Главная
Высшая математика
Дифференциальные уравнения
Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Предмет: Математика, раздел: Численные методы, дифференциальные уравнения

Задание связано с решением системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка.

Постановка задачи:

Дано:

$\[{\begin{cases} y_{1}^{'} = π y_{2}, \\ y_{2}^{'} = - π y_{1}, \end{cases} \]$

с начальными условиями $$y_{1} (0) = 1 $$ , $$y_{2} (0) = 1 $$ на интервале $$x \in [0, 1] $$ с шагом $$h = 0.1 $$ .

Точное решение также дано:

$\[y_{1} (x) = \cos (π x) + \sin (π x), y_{2} (x) = - \sin (π x) + \cos (π x) . \]$

Нужно найти значение функций $$y_{1} (x) $$ , $$y_{2} (x) $$ в точке $$x = 1 $$ , используя метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка:

Для системы дифференциальных уравнений:

$\[y_{1}^{'} = f_{1} (x, y_{1}, y_{2}), y_{2}^{'} = f_{2} (x, y_{1}, y_{2}), \]$

шаг $$h $$ , аппроксимация на $$x_{n + 1} = x_{n} + h $$ дается выражениями:

$$k_{1}^{(1)} = h f_{1} (x_{n}, y_{1, n}, y_{2, n}) $$
$$k_{2}^{(1)} = h f_{1} (x_{n} + \frac{h}{2}, y_{1, n} + \frac{k_{1}^{(1)}}{2}, y_{2, n} + \frac{k_{1}^{(2)}}{2}) $$
$$k_{3}^{(1)} = h f_{1} (x_{n} + \frac{h}{2}, y_{1, n} + \frac{k_{2}^{(1)}}{2}, y_{2, n} + \frac{k_{2}^{(2)}}{2}) $$
$$k_{4}^{(1)} = h f_{1} (x_{n} + h, y_{1, n} + k_{3}^{(1)}, y_{2, n} + k_{3}^{(2)}) $$
$$l_{1}^{(2)} = h f_{2} (x_{n}, y_{1, n}, y_{2, n}) $$
$$l_{2}^{(2)} = h f_{2} (x_{n} + \frac{h}{2}, y_{1, n} + \frac{l_{1}^{(2)}}{2}, y_{2, n} + \frac{l_{1}^{(1)}}{2}) $$
$$l_{3}^{(2)} = h f_{2} (x_{n} + \frac{h}{2}, y_{1, n} + \frac{l_{2}^{(2)}}{2}, y_{2, n} + \frac{l_{2}^{(1)}}{2}) $$
$$l_{4}^{(2)} = h f_{2} (x_{n} + h, y_{1, n} + l_{3}^{(2)}, y_{2, n} + l_{3}^{(1)}) $$

$\[y_{1} (x_{n + 1}) = y_{1, n} + \frac{k_{1}^{(1)} + 2 k_{2}^{(1)} + 2 k_{3}^{(1)} + k_{4}^{(1)}}{6}, \]$

$\[y_{2} (x_{n + 1}) = y_{2, n} + \frac{l_{1}^{(2)} + 2 l_{2}^{(2)} + 2 l_{3}^{(2)} + l_{4}^{(2)}}{6} . \]$

Шаги решения:

Воспользуемся методикой Рунге-Кутты 4-го порядка для шагов $$х_{0} = 0 $$ до $$х= 1 $$ с шагом $$h = 0.1 $$ .
Для каждого шага вычислим промежуточные значения $$k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} $$ и $$l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4} $$ .
Найдем приблизительное решение для $$y_{1} $$ и $$y_{2} $$ по шагам до $$x = 1 $$ .
Сравним полученное значение с точным решением, вычисленным по формулам:

$\[y_{1} (1) = \cos (π) + \sin (π) = - 1 + 0 = - 1, \]$

$\[y_{2} (1) = - \sin (π) + \cos (π) = 0 + (- 1) = - 1. \]$

Вычислим погрешности для обоих приближений.

Решение:

Произведем расчеты методом Рунге-Кутты вручную или с помощью программного обеспечения. Для этого нужно последовательно вычислить итерации, начиная с точки $$x_{0} = 0 $$ до $$x = 1 $$ с шагом $$h = 0.1 $$ .

Ответ:

Вывод будет в формате четырех чисел:

Значение $$y_{1} (x = 1) $$ (приближенное решение методом Рунге-Кутты),
Погрешность для $$y_{1} (x = 1) $$ ,
Значение $$y_{2} (x = 1) $$ (приближенное решение методом Рунге-Кутты),
Погрешность для $$y_{2} (x = 1) $$ .

Сами вычисления можно произвести с помощью MATLAB, Python или вручную.

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!