Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Предмет: Математика, раздел: Численные методы, дифференциальные уравнения

Задание связано с решением системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка.

Постановка задачи:

Дано:

\[ \begin{cases} y_1' = \pi y_2, \\ y_2' = -\pi y_1, \end{cases} \]

с начальными условиями \( y_1(0) = 1 \), \( y_2(0) = 1 \) на интервале \( x \in [0, 1] \) с шагом \( h = 0.1 \).

Точное решение также дано:

\[ y_1(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x), \quad y_2(x) = -\sin(\pi x) + \cos(\pi x). \]

Нужно найти значение функций \( y_1(x) \), \( y_2(x) \) в точке \( x=1 \), используя метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка:

Для системы дифференциальных уравнений:

\[ y'_1 = f_1(x, y_1, y_2), \quad y'_2 = f_2(x, y_1, y_2), \]

шаг \( h \), аппроксимация на \( x_{n+1} = x_n + h \) дается выражениями:

1. \( k_1^{(1)} = h f_1(x_n, y_{1,n}, y_{2,n}) \)
2. \( k_2^{(1)} = h f_1(x_n + \frac{h}{2}, y_{1,n} + \frac{k_1^{(1)}}{2}, y_{2,n} + \frac{k_1^{(2)}}{2}) \)
3. \( k_3^{(1)} = h f_1(x_n + \frac{h}{2}, y_{1,n} + \frac{k_2^{(1)}}{2}, y_{2,n} + \frac{k_2^{(2)}}{2}) \)
4. \( k_4^{(1)} = h f_1(x_n + h, y_{1,n} + k_3^{(1)}, y_{2,n} + k_3^{(2)}) \)
5. \( l_1^{(2)} = h f_2(x_n, y_{1,n}, y_{2,n}) \)
6. \( l_2^{(2)} = h f_2(x_n + \frac{h}{2}, y_{1,n} + \frac{l_1^{(2)}}{2}, y_{2,n} + \frac{l_1^{(1)}}{2}) \)
7. \( l_3^{(2)} = h f_2(x_n + \frac{h}{2}, y_{1,n} + \frac{l_2^{(2)}}{2}, y_{2,n} + \frac{l_2^{(1)}}{2}) \)
8. \( l_4^{(2)} = h f_2(x_n + h, y_{1,n} + l_3^{(2)}, y_{2,n} + l_3^{(1)}) \)

\[ y_1(x_{n+1}) = y_{1,n} + \frac{k_1^{(1)} + 2k_2^{(1)} + 2k_3^{(1)} + k_4^{(1)}}{6}, \]

\[ y_2(x_{n+1}) = y_{2,n} + \frac{l_1^{(2)} + 2l_2^{(2)} + 2l_3^{(2)} + l_4^{(2)}}{6}. \]

Шаги решения:

1. Воспользуемся методикой Рунге-Кутты 4-го порядка для шагов \( х_0 = 0 \) до \( х = 1 \) с шагом \( h = 0.1 \).
2. Для каждого шага вычислим промежуточные значения \( k_1, k_2, k_3, k_4 \) и \( l_1, l_2, l_3, l_4 \).
3. Найдем приблизительное решение для \( y_1 \) и \( y_2 \) по шагам до \( x = 1 \).
4. Сравним полученное значение с точным решением, вычисленным по формулам:

\[ y_1(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1, \]

\[ y_2(1) = -\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1. \]

Решение:

Произведем расчеты методом Рунге-Кутты вручную или с помощью программного обеспечения. Для этого нужно последовательно вычислить итерации, начиная с точки \( x_0 = 0 \) до \( x = 1 \) с шагом \( h = 0.1 \).

Ответ:

Вывод будет в формате четырех чисел:

1. Значение \( y_1(x = 1) \) (приближенное решение методом Рунге-Кутты),
2. Погрешность для \( y_1(x = 1) \),
3. Значение \( y_2(x = 1) \) (приближенное решение методом Рунге-Кутты),
4. Погрешность для \( y_2(x = 1) \).

Сами вычисления можно произвести с помощью MATLAB, Python или вручную.