Решение систем ОДУ операционным методом (методом Лапласа)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, решение систем ОДУ операционным методом (методом Лапласа)

Рассмотрим задачу 2.3:

 x'' - 7x' + 12x = \sin 2t, \quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 0 

Шаг 1. Применение преобразования Лапласа

Обозначим X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}.

Преобразуем левую часть уравнения:

 \mathcal{L}\{x''\} = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) = s^2 X(s) - 0 - 0 = s^2 X(s) 

 \mathcal{L}\{-7x'\} = -7 (s X(s) - x(0)) = -7 s X(s) 

 \mathcal{L}\{12x\} = 12 X(s) 

Преобразуем правую часть:

 \mathcal{L}\{\sin 2t\} = \frac{2}{s^2 + 4} 

Подставим в уравнение:

 s^2 X(s) - 7 s X(s) + 12 X(s) = \frac{2}{s^2 + 4} 

Вынесем X(s) за скобки:

 X(s)(s^2 - 7 s + 12) = \frac{2}{s^2 + 4} 

Шаг 2. Найдем X(s)

Разложим знаменатель:

 s^2 - 7 s + 12 = (s - 3)(s - 4) 

Тогда:

 X(s) = \frac{2}{(s^2 + 4)(s - 3)(s - 4)} 

Шаг 3. Обратное преобразование Лапласа

Для нахождения x(t) нужно разложить дробь на простые части. Но здесь проще использовать свертку или табличное преобразование.

Обозначим:

 F(s) = \frac{1}{s^2 + 4} \quad \Rightarrow \quad f(t) = \frac{1}{2} \sin 2t 

 G(s) = \frac{2}{(s - 3)(s - 4)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s - 4} 

Найдем коэффициенты A и B:

 2 = A (s - 4) + B (s - 3) 

Подставим s=3:

 2 = A (3 - 4) + B (0) = -A \Rightarrow A = -2 

Подставим s=4:

 2 = A (0) + B (4 - 3) = B \Rightarrow B = 2 

Итого:

 G(s) = \frac{-2}{s - 3} + \frac{2}{s - 4} 

Обратные преобразования:

 \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - a}\right\} = e^{a t} 

Значит:

 g(t) = -2 e^{3 t} + 2 e^{4 t} 

Шаг 4. Решение через свертку

Так как X(s) = F(s) \cdot G(s), то

 x(t) = (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau = \int_0^t \frac{1}{2} \sin 2 \tau \left[-2 e^{3(t - \tau)} + 2 e^{4(t - \tau)}\right] d\tau 

Выносим константы:

 x(t) = \int_0^t \sin 2 \tau \left[- e^{3(t - \tau)} + e^{4(t - \tau)}\right] d\tau 

Шаг 5. Интегрирование

Разобьем интеграл:

 x(t) = - e^{3 t} \int_0^t e^{-3 \tau} \sin 2 \tau d\tau + e^{4 t} \int_0^t e^{-4 \tau} \sin 2 \tau d\tau 

Используем формулу интеграла:

 \int e^{a t} \sin (b t) dt = \frac{e^{a t} (a \sin b t - b \cos b t)}{a^2 + b^2} + C 

Для первого интеграла:

 I_1 = \int_0^t e^{-3 \tau} \sin 2 \tau d\tau = \left[ \frac{e^{-3 \tau} (-3 \sin 2 \tau - 2 \cos 2 \tau)}{13} \right]_0^t 

Подставим пределы:

 I_1 = \frac{e^{-3 t} (-3 \sin 2 t - 2 \cos 2 t) - (-2)}{13} = \frac{-3 e^{-3 t} \sin 2 t - 2 e^{-3 t} \cos 2 t + 2}{13} 

Для второго интеграла:

 I_2 = \int_0^t e^{-4 \tau} \sin 2 \tau d\tau = \left[ \frac{e^{-4 \tau} (-4 \sin 2 \tau - 2 \cos 2 \tau)}{20} \right]_0^t 

Подставим пределы:

 I_2 = \frac{e^{-4 t} (-4 \sin 2 t - 2 \cos 2 t) - (-2)}{20} = \frac{-4 e^{-4 t} \sin 2 t - 2 e^{-4 t} \cos 2 t + 2}{20} 

Шаг 6. Подставим обратно в x(t)

 x(t) = - e^{3 t} \cdot I_1 + e^{4 t} \cdot I_2 

Подставим выражения:

 x(t) = - e^{3 t} \cdot \frac{-3 e^{-3 t} \sin 2 t - 2 e^{-3 t} \cos 2 t + 2}{13} + e^{4 t} \cdot \frac{-4 e^{-4 t} \sin 2 t - 2 e^{-4 t} \cos 2 t + 2}{20} 

Упростим:

 x(t) = - \frac{-3 \sin 2 t - 2 \cos 2 t + 2 e^{3 t}}{13} + \frac{-4 \sin 2 t - 2 \cos 2 t + 2 e^{4 t}}{20} 

Раскроем знаки:

 x(t) = \frac{3 \sin 2 t + 2 \cos 2 t - 2 e^{3 t}}{13} + \frac{-4 \sin 2 t - 2 \cos 2 t + 2 e^{4 t}}{20} 

Шаг 7. Итоговое решение

Приведем к общему виду:

 x(t) = \frac{3 \sin 2 t + 2 \cos 2 t}{13} - \frac{2 e^{3 t}}{13} - \frac{4 \sin 2 t + 2 \cos 2 t}{20} + \frac{2 e^{4 t}}{20} 

Группируем по функциям:

 x(t) = \left(\frac{3}{13} - \frac{4}{20}\right) \sin 2 t + \left(\frac{2}{13} - \frac{2}{20}\right) \cos 2 t - \frac{2}{13} e^{3 t} + \frac{1}{10} e^{4 t} 

Вычислим коэффициенты:

 \frac{3}{13} = 0.2308, \quad \frac{4}{20} = 0.2 \quad \Rightarrow \quad 0.2308 - 0.2 = 0.0308 

 \frac{2}{13} = 0.1538, \quad \frac{2}{20} = 0.1 \quad \Rightarrow \quad 0.1538 - 0.1 = 0.0538 

Итог:

 x(t) = 0.0308 \sin 2 t + 0.0538 \cos 2 t - \frac{2}{13} e^{3 t} + \frac{1}{10} e^{4 t} 

Шаг 8. Проверка решения

Подставим x(t), x'(t), x''(t) в исходное уравнение и проверим равенство:

 x'' - 7 x' + 12 x \stackrel{?}{=} \sin 2 t 

(Проверка сводится к дифференцированию и подстановке — в силу громоздкости здесь не приводится полностью, но при аккуратном вычислении левая часть будет равна правой.)

Ответ:

 \boxed{ x(t) = \left(\frac{3}{13} - \frac{4}{20}\right) \sin 2 t + \left(\frac{2}{13} - \frac{2}{20}\right) \cos 2 t - \frac{2}{13} e^{3 t} + \frac{1}{10} e^{4 t} } 

Если нужна помощь с проверкой или решением других задач из ИДЗ - 2.1, обращайтесь!