Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:

(y^2 + x^2)dx - xydy = 0

Рассмотрим решение данного уравнения. Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение имеет вид, который можно попытаться привести к виду уравнения с разделяющимися переменными или уравнения однородного типа.

Шаг 1. Проверим однородность уравнения

Уравнение называется однородным, если функции при dx и dy являются однородными функциями одной и той же степени.

Рассмотрим функции:

• M(x, y) = y^2 + x^2
• N(x, y) = -xy.

Степень M(x, y) равна 2 (оба слагаемых y^2 и x^2 имеют степень 2).
Степень N(x, y) также равна 2 (произведение -xy имеет степень 2).

Таким образом, уравнение однородное.

Шаг 2. Сделаем замену переменных

Для решения однородного уравнения воспользуемся стандартной заменой:
y = vx, где v — новая переменная, зависящая от x.
Отсюда dy = vdx + xdv.

Подставим замену в уравнение:
(y^2 + x^2)dx - xydy = 0
Подставляем y = vx и dy = vdx + xdv:
((vx)^2 + x^2)dx - x(vx)(vdx + xdv) = 0.

Раскроем скобки:
(v^2x^2 + x^2)dx - x(vx)(vdx) - x(vx)(xdv) = 0.
Упростим:
(v^2x^2 + x^2)dx - v^2x^2dx - v^2x^2dv = 0.
Сгруппируем слагаемые:
x^2(1 + v^2)dx - v^2x^2dv = 0.

Шаг 3. Приведем к уравнению с разделяющимися переменными

Разделим обе части уравнения на x^2 (при x \neq 0):
(1 + v^2)dx - v^2dv = 0.
Перепишем:
(1 + v^2)dx = v^2dv.
Разделим переменные x и v:
\frac{dx}{x} = \frac{v^2}{1 + v^2} dv.

Шаг 4. Интегрируем обе части

Интегрируем левую и правую часть уравнения:
\int \frac{dx}{x} = \int \frac{v^2}{1 + v^2} dv.

Левая часть:

\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1, где C_1 — произвольная константа.

Правая часть:

Разделим дробь:
\frac{v^2}{1 + v^2} = 1 - \frac{1}{1 + v^2}.
Интеграл:
\int \frac{v^2}{1 + v^2} dv = \int 1 dv - \int \frac{1}{1 + v^2} dv = v - \arctan(v) + C_2, где C_2 — произвольная константа.

Шаг 5. Объединяем результаты

Получаем:
\ln|x| = v - \arctan(v) + C, где C = C_2 - C_1.

Шаг 6. Возвращаемся к исходным переменным

Напомним, что v = \frac{y}{x}. Подставим:
\ln|x| = \frac{y}{x} - \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + C.

Это общее решение данного дифференциального уравнения.