Решение нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

Условие:

Решение:

На изображении представлено математическое выражение. Это дифференциальное уравнение, довольно распространенный раздел в предмете математика, а в частности в его подразделе - математическом анализе. Видно, что это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы найти решение этого уравнения, давайте сначала найдем общий вид уравнения: \[ y' + \frac{y}{x} = x^2 \] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его можно решить с помощью разделения переменных или метода интегрирующего множителя. В данной ситуации использование интегрирующего множителя кажется более подходящим подходом. Для начала найдем интегрирующий множитель `µ(x)`, который удовлетворяет условию: \[ µ'(x) - \frac{µ(x)}{x} = 0 \] Обычно он выбирается исходя из выражения, которое стоит при `y'` (в данном случае при `y'` стоит 1), и выражения, которое находится с `y` (в данном случае это `1/x`). Интегрирующий множитель `µ(x)` в данном случае будет: \[ µ(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x \] Теперь умножим обе части нашего уравнения на интегрирующий множитель `x`: \[ xy' + y = x^3 \] Теперь левая часть уравнения является производной от произведения `xy`: \[ (xy)' = x^3 \] Теперь мы можем проинтегрировать обе части по `x`: \[ \int (xy)' dx = \int x^3 dx \] Это дает нам: \[ xy = \frac{x^4}{4} + C \] Теперь мы можем выразить `y`: \[ y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \] Это общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения, где `C` является константой интегрирования.