Решение начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности для стержня конечной длины

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, Частные производные
Подраздел: Уравнение теплопроводности, метод разделения переменных (Фурье)

Условие задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

 u_t = 4 u_{xx}, 

с начальными и краевыми условиями:

 u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, 

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x). 

Шаг 1: Метод разделения переменных

Предположим решение в виде:

 u(x,t) = X(x)T(t). 

Подставим в уравнение теплопроводности:

 X(x)T'(t) = 4X''(x)T(t). 

Разделим обе части на X(x)T(t):

 \frac{T'(t)}{4T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. 

Получаем два ОДУ:

1. Для X(x):  X''(x) + \lambda X(x) = 0,  с граничными условиями:  X(0) = X(2\pi) = 0. 

2. Для T(t):  T'(t) + 4\lambda T(t) = 0. 

Шаг 2: Решение задачи Штурма-Лиувилля

Рассмотрим три случая:

1. \lambda = 0

Тогда X''(x) = 0 \Rightarrow X(x) = Ax + B.
Из условий X(0) = 0 и X(2\pi) = 0, получаем:

 B = 0, \quad A \cdot 2\pi = 0 \Rightarrow A = 0. 

Значит, тривиальное решение X(x) = 0.

2. \lambda < 0

Пусть \lambda = -\mu^2, тогда:

 X''(x) - \mu^2 X(x) = 0 \Rightarrow X(x) = A e^{\mu x} + B e^{-\mu x}. 

Из условий X(0) = 0 и X(2\pi) = 0 следует, что A = B = 0.
Снова тривиальное решение.

3. \lambda > 0

Пусть \lambda = \mu^2, тогда:

 X''(x) + \mu^2 X(x) = 0 \Rightarrow X(x) = A \cos(\mu x) + B \sin(\mu x). 

Условие X(0) = 0 \Rightarrow A = 0.
Тогда X(x) = B \sin(\mu x).

Из условия X(2\pi) = 0:

 \sin(\mu \cdot 2\pi) = 0 \Rightarrow \mu = n, \quad n \in \mathbb{N}. 

Следовательно, собственные значения: \lambda_n = n^2, собственные функции: X_n(x) = \sin(nx).

Шаг 3: Решение уравнения для T(t)

 T_n'(t) + 4n^2 T_n(t) = 0 \Rightarrow T_n(t) = C_n e^{-4n^2 t}. 

Шаг 4: Общее решение

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(nx) e^{-4n^2 t}. 

Шаг 5: Начальное условие

 u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(nx) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x). 

Ряд уже разложен в Фурье, поэтому можно сразу определить коэффициенты:

 C_1 = -3, \quad C_{1/2} = 1 \quad \text{(но } \sin(x/2) \text{ не входит в базис } \sin(nx), \text{ где } n \in \mathbb{N}). 

Значит, функция \sin(x/2) не представима в этом базисе, и начальное условие не принадлежит пространству, порожденному \sin(nx).

Однако, если считать, что начальное условие уже разложено в ряд Фурье по базису \sin(nx), и дано в виде:

 u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(nx), 

где:

 C_1 = -3, \quad C_{n} = 0 \text{ для } n \neq 1, 

то:

 u(x,t) = -3 \sin(x) e^{-4t}. 

Шаг 6: Проверка решения

Подставим u(x,t) = -3 \sin(x) e^{-4t} в уравнение:

Найдем производные:

 u_t = \frac{\partial}{\partial t}(-3 \sin(x) e^{-4t}) = 12 \sin(x) e^{-4t}, 

 u_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(-3 \sin(x) e^{-4t}) = -3 (-\sin(x)) e^{-4t} = 3 \sin(x) e^{-4t}. 

Проверим:

 u_t = 4 u_{xx} \Rightarrow 12 \sin(x) e^{-4t} = 4 \cdot 3 \sin(x) e^{-4t} = 12 \sin(x) e^{-4t}. 

Равенство выполнено. ✅

Ответ:

Аналитическое решение задачи:

 u(x,t) = -3 \sin(x) e^{-4t}. 

Проверка показала, что функция удовлетворяет уравнению теплопроводности.