Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Дано дифференциальное уравнение:
-x''(t) + 4x(t) = 25e^{-t}, \; x(0) = 0, \; x'(0) = 5.

Необходимо найти решение x(t), чтобы оно совпадало с ответом:
x(t) = 12e^{-t} + 5te^{-t} - 2\cos 2t + \sin 2t.

Шаг 1. Приведение уравнения к стандартному виду

Перепишем уравнение:
-x''(t) + 4x(t) = 25e^{-t}.

Домножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид:
x''(t) - 4x(t) = -25e^{-t}.

Шаг 2. Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:
x''(t) - 4x(t) = 0.

Характеристическое уравнение:
\lambda^2 - 4 = 0.

Решим характеристическое уравнение:
\lambda = \pm 2.

Общее решение однородного уравнения:
x_h(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-2t}.

Шаг 3. Частное решение неоднородного уравнения

Частное решение ищем для правой части -25e^{-t}.
Предположим, что частное решение имеет вид:
x_p(t) = Ae^{-t} + Bte^{-t}.

Подставим x_p(t) в уравнение:
x''_p(t) - 4x_p(t) = -25e^{-t}.

Вычислим производные:
x_p(t) = Ae^{-t} + Bte^{-t},
x'_p(t) = -Ae^{-t} - Be^{-t} + Bte^{-t},
x''_p(t) = Ae^{-t} + 2Be^{-t} - Bte^{-t}.

Подставим в уравнение:
(Ae^{-t} + 2Be^{-t} - Bte^{-t}) - 4(Ae^{-t} + Bte^{-t}) = -25e^{-t}.

Упростим:
(A + 2B - 4A)e^{-t} + (-B - 4B)te^{-t} = -25e^{-t}.

Рассмотрим коэффициенты при e^{-t} и te^{-t}:

1. A + 2B - 4A = -25,
2. -B - 4B = 0.

Из второго уравнения:
-5B = 0 \; \Rightarrow \; B = 0.

Подставим B = 0 в первое уравнение:
A + 2(0) - 4A = -25 \; \Rightarrow \; -3A = -25 \; \Rightarrow \; A = 25/3.

Частное решение:
x_p(t) = \frac{25}{3}e^{-t}.

Шаг 4. Общее решение уравнения

Общее решение:
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} + \frac{25}{3}e^{-t}.

Шаг 5. Учет начальных условий

Начальные условия:
x(0) = 0, \; x'(0) = 5.

Подставим t = 0 в общее решение:
x(0) = C_1 + C_2 + \frac{25}{3} = 0.
Отсюда:
C_1 + C_2 = -\frac{25}{3}.

Найдем производную общего решения:
x'(t) = 2C_1e^{2t} - 2C_2e^{-2t} - \frac{25}{3}e^{-t}.

Подставим t = 0:
x'(0) = 2C_1 - 2C_2 - \frac{25}{3} = 5.

Система уравнений:

1. C_1 + C_2 = -\frac{25}{3},
2. 2C_1 - 2C_2 - \frac{25}{3} = 5.

Решим систему:
Из первого уравнения:
C_2 = -\frac{25}{3} - C_1.

Подставим во второе уравнение:
2C_1 - 2\left(-\frac{25}{3} - C_1\right) - \frac{25}{3} = 5.
2C_1 + \frac{50}{3} + 2C_1 - \frac{25}{3} = 5.
4C_1 + \frac{25}{3} = 5.
4C_1 = 5 - \frac{25}{3} = \frac{15}{3} - \frac{25}{3} = -\frac{10}{3}.
C_1 = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}.

Найдем C_2:
C_2 = -\frac{25}{3} - \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{25}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{50}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{45}{6} = -\frac{15}{2}.

Шаг 6. Итоговое решение

Подставим найденные C_1 и C_2:
x(t) = -\frac{5}{6}e^{2t} - \frac{15}{2}e^{-2t} + \frac{25}{3}e^{-t}.

Упростим выражение и сверим с ответом.