Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Дано линейное дифференциальное уравнение:
x'(t) - 2x(t) = 7e^{-5t}, \, x(0) = 1.

Необходимо найти решение этого уравнения.

Шаг 1. Общая форма линейного уравнения

Общая форма линейного дифференциального уравнения: x'(t) + p(t)x(t) = q(t).

В данном случае:

• p(t) = -2,
• q(t) = 7e^{-5t}.

Шаг 2. Найдем решение методом вариации постоянной

2.1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение: x'(t) - 2x(t) = 0.

Это уравнение можно решить методом разделения переменных: \frac{x'(t)}{x(t)} = 2 \quad \Rightarrow \quad \ln|x(t)| = 2t + C \quad \Rightarrow \quad x(t) = C_1e^{2t}, где C_1 — произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение однородного уравнения: x_h(t) = C_1e^{2t}.

2.2. Частное решение неоднородного уравнения

Ищем частное решение x_p(t) в виде: x_p(t) = u(t)e^{2t}, где u(t) — неизвестная функция, которую нужно найти.

Подставим x_p(t) в исходное уравнение: x'(t) - 2x(t) = 7e^{-5t}.

Вычислим производную x_p'(t): x_p'(t) = u'(t)e^{2t} + 2u(t)e^{2t}.

Подставим x_p(t) и x_p'(t) в уравнение: (u'(t)e^{2t} + 2u(t)e^{2t}) - 2(u(t)e^{2t}) = 7e^{-5t}.

Сократим одинаковые слагаемые: u'(t)e^{2t} = 7e^{-5t}.

Разделим на e^{2t}: u'(t) = 7e^{-7t}.

Проинтегрируем: u(t) = \int 7e^{-7t} dt = -\frac{7}{7}e^{-7t} + C_2 = -e^{-7t} + C_2.

Таким образом, частное решение: x_p(t) = (-e^{-7t} + C_2)e^{2t} = -e^{-5t} + C_2e^{2t}.

2.3. Общее решение

Общее решение уравнения: x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1e^{2t} - e^{-5t} + C_2e^{2t}.

Объединим константы C_1 и C_2 в одну: x(t) = Ce^{2t} - e^{-5t}.

Шаг 3. Определение константы C

Из условия x(0) = 1: x(0) = Ce^{2 \cdot 0} - e^{-5 \cdot 0} = C - 1 = 1.

Отсюда: C = 2.

Итоговое решение

x(t) = 2e^{2t} - e^{-5t}.