Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Этот пример относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами".

Уравнение имеет вид: \[ y'' - 5y + 6 = 2x + 1 \]

Рассмотрим решение уравнения вида \( y'' - 5y + 6 = 2x + 1 \).

1. Решение однородного уравнения:

Сначала решим соответствующее однородное уравнение \[ y'' - 5y + 6 = 0 \]

Характеристическое уравнение: \[ r^2 - 5r + 6 = 0 \]

Решаем это квадратное уравнение: \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Таким образом, корни характеристического уравнения: \[ r_1 = 3 \] \[ r_2 = 2 \]

Общее решение однородного уравнения: \[ y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x} \]

2. Частное решение неоднородного уравнения:

Для поиска частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Предположим частное решение уравнения в виде: \[ y_p = Ax + B \]

Найдем первую и вторую производные \( y_p \):

\( y_p' = A \)

\( y_p'' = 0 \)

Подставим \( y_p \) и его производные в исходное уравнение:

\[ 0 - 5(Ax + B) + 6 = 2x + 1 \]

\[ -5Ax - 5B + 6 = 2x + 1 \]

Равенство выполняется идентично для всех x, следовательно, приравниваем коэффициенты при \( x \) и свободные члены:

\[ -5A = 2 \]

\[ -5B + 6 = 1 \]

Решаем систему уравнений:

\[ A = -\frac{2}{5} \]

\[ B = 1 \]

Итак, частное решение: \[ y_p = -\frac{2}{5}x + 1 \]

3. Общее решение:

Общее решение дифференциального уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

\[ y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x} - \frac{2}{5}x + 1 \]

Таким образом, решением уравнения \( y'' - 5y + 6 = 2x + 1 \) будет:

\[ y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x} - \frac{2}{5}x + 1 \]

Это и есть искомое решение.