Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Этот пример относится к предмету "математика", разделу "дифференциальные уравнения". Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: y'' + 2y' + 2y = \cos(2x) Следуем алгоритму решения:

1. Решение соответствующего однородного уравнения:

Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение: y'' + 2y' + 2y = 0 Запишем характеристическое уравнение: r^2 + 2r + 2 = 0 Решим эту характеристическое уравнение. Найдём корни: r_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i Корни комплексные: r_{1} = -1 + i и r_{2} = -1 - i. Общее решение однородного уравнения запишем в виде: y_h(x) = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))

2. Частное решение неоднородного уравнения:

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения y_p(x). Поскольку правая часть уравнения — это \cos(2x), общем решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x) Подставим y_p и его производные в исходное уравнение: y_p = A \cos(2x) + B \sin(2x) y_p' = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x) y_p'' = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x) Подставим эти выражения в исходное уравнение: (-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) + 2(-2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)) + 2(A \cos(2x) + B \sin(2x)) = \cos(2x) Приведём подобные: (-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) + (-4A \sin(2x) + 4B \cos(2x)) + (2A \cos(2x) + 2B \sin(2x)) = \cos(2x) (-2A + 4B) \cos(2x) + (-2B - 4A) \sin(2x) = \cos(2x) Приравниваем коэффициенты при \cos(2x) и \sin(2x) с правой части уравнения: -2A + 4B = 1 -2B - 4A = 0 Решим систему уравнений: -2B - 4A = 0 \implies B = -2A Подставим B = -2A в -2A + 4B = 1: -2A + 4(-2A) = 1 -2A - 8A = 1 -10A = 1 A = -\frac{1}{10} B = -2A = -2\left( -\frac{1}{10} \right) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

3. Общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) - \frac{1}{10} \cos(2x) + \frac{1}{5} \sin(2x) Таким образом, решение уравнения: y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) - \frac{1}{10} \cos(2x) + \frac{1}{5} \sin(2x)