Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данное задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", который является частью математического анализа. Уравнение выглядит следующим образом: y'' + 2y = 2 \cos 3x Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим решение этого уравнения в два этапа: 1. Найдем общее решение однородного уравнения. 2. Найдем частное решение для неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Начнем с решения однородного уравнения: y'' + 2y = 0

Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения имеет вид: r^2 + 2 = 0

Решим характеристическое уравнение: r^2 = -2 r = \pm \sqrt{-2} r = \pm i\sqrt{2}

Общее решение однородного уравнения будет: y_h(x) = C_1 \cos(\sqrt{2} x) + C_2 \sin(\sqrt{2} x)

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения

Для этого нам нужно сделать предположение о виде частного решения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид 2 \cos 3x, попробуем решение вида: y_p(x) = A \cos 3x + B \sin 3x

Подставим y_p(x) и его производные в исходное уравнение: y_p = A \cos 3x + B \sin 3x y'_p = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x y''_p = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x

Теперь вернемся к исходному уравнению: y'' + 2y = 2 \cos 3x

Подставим в него y_p: -9A \cos 3x - 9B \sin 3x + 2(A \cos 3x + B \sin 3x) = 2 \cos 3x

Упростим выражение: (-9A + 2A) \cos 3x + (-9B + 2B) \sin 3x = 2 \cos 3x -7A \cos 3x - 7B \sin 3x = 2 \cos 3x

Теперь приравняем коэффициенты при \cos 3x и \sin 3x: -7A = 2 -7B = 0

Отсюда: A = -\frac{2}{7} B = 0

Таким образом, частное решение будет: y_p(x) = -\frac{2}{7} \cos 3x

Шаг 3: Общее решение

Теперь общее решение уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C_1 \cos(\sqrt{2} x) + C_2 \sin(\sqrt{2} x) - \frac{2}{7} \cos 3x

Это и есть окончательное решение данного дифференциального уравнения.