Решение линейного дифференциального уравнения в частных производных

Это уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрим все подробно.

1. Определение предмета и раздела предмета:

• Предмет: Высшая математика.
• Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных.

2. Расшифровка уравнения:

Уравнение имеет вид: \[ yU_xx + xU_yy = 0, \]

где:

• \( U_{xx} \) — вторая частная производная функции \(U(x, y)\) по переменной \(x\),
• \( U_{yy} \) — вторая частная производная функции \(U(x, y)\) по переменной \(y\).

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Характер уравнения:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Оно записано в форме:

\[ a(x, y) U_{xx} + b(x, y) U_{yy} = 0, \]

где \(a(x, y) = y\), \(b(x, y) = x\).

4. Решение уравнения.

Для анализа задачи введем метод отделения переменных. Упростим анализ, заменяя переменные \( x \) и \( y \) на комбинации новых переменных, чтобы уравнение стало более удобным. Рассмотрим новый базис \((\xi, \eta)\):

• \(\xi = \log(x)\),
• \(\eta = \log(y)\).

Это нужно потому, что переменные для \(U_xx\) и \(U_yy\) зависят от логарифмического характера переменных.