Решение линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами и правой частью

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Линейные дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
y''' - 5y'' + 6y' = (x-1)^2

Это линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами и правой частью. Решение состоит из двух частей:

1. Общее решение однородного уравнения
2. Частное решение неоднородного уравнения

1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
y''' - 5y'' + 6y' = 0

Составим характеристическое уравнение:
r^3 - 5r^2 + 6r = 0

Вынесем r за скобки:
r(r^2 - 5r + 6) = 0

Разложим квадратный многочлен на множители:
r(r - 2)(r - 3) = 0

Корни характеристического уравнения:
r_1 = 0, \quad r_2 = 2, \quad r_3 = 3

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_h = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x}

2. Частное решение уравнения

Правая часть уравнения (x-1)^2 является многочленом второй степени. Поэтому в качестве частного решения будем искать многочлен вида:
y_p = Ax^2 + Bx + C

Подставим его в исходное уравнение и найдем коэффициенты A, B и C.

Дифференцируем:
y_p' = 2Ax + B
y_p'' = 2A
y_p''' = 0

Подставляем в уравнение:
0 - 5(2A) + 6(2Ax + B) = (x-1)^2

Раскрываем скобки:
-10A + 12Ax + 6B = x^2 - 2x + 1

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

• При x^2: 0 = 1 (Ошибка! Значит, частное решение должно быть вида Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)

Попробуем искать частное решение в виде:
y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

Дифференцируем:
y_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C
y_p'' = 6Ax + 2B
y_p''' = 6A

Подставляем в уравнение:
6A - 5(6Ax + 2B) + 6(3Ax^2 + 2Bx + C) = (x-1)^2

Раскрываем скобки:
6A - 30Ax - 10B + 18Ax^2 + 12Bx + 6C = x^2 - 2x + 1

Приравниваем коэффициенты:

• При x^2: 18A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{18}

• При x: -30A + 12B = -2
  Подставляем A = \frac{1}{18}:
  -30 \cdot \frac{1}{18} + 12B = -2
  -\frac{30}{18} + 12B = -2
  -\frac{5}{3} + 12B = -2
  12B = -2 + \frac{5}{3}
  12B = -\frac{6}{3} + \frac{5}{3}
  12B = -\frac{1}{3}
  B = -\frac{1}{36}

• При x^0: 6A - 10B + 6C = 1
  Подставляем A = \frac{1}{18} и B = -\frac{1}{36}:
  6 \cdot \frac{1}{18} - 10 \cdot \left(-\frac{1}{36}\right) + 6C = 1
  \frac{6}{18} + \frac{10}{36} + 6C = 1
  \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + 6C = 1
  Приводим к общему знаменателю (18):
  \frac{6}{18} + \frac{5}{18} + 6C = 1
  \frac{11}{18} + 6C = 1
  6C = 1 - \frac{11}{18}
  6C = \frac{18}{18} - \frac{11}{18}
  6C = \frac{7}{18}
  C = \frac{7}{108}

Таким образом, частное решение:
y_p = \frac{1}{18}x^3 - \frac{1}{36}x^2 + \frac{7}{108}x + D

Общее решение уравнения:
y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x} + \frac{1}{18}x^3 - \frac{1}{36}x^2 + \frac{7}{108}x + D

Значение D определяется из начальных условий (если они заданы).