Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задача по дифференциальным уравнениям, разделе математики.
Данное уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Требуется найти функцию \( y(x) \), которая удовлетворяет этому уравнению.
Для начала представим уравнение в стандартном виде линейного дифференциального уравнения:
\[ y' + p(x) \cdot y = q(x) \] Наше уравнение: \[ x \cdot y' + y = x + 1 \] Поделим обе части уравнения на \( x \) (предполагаем, что \( x \neq 0 \)):
\[ y' + \frac{1}{x} \cdot y = 1 + \frac{1}{x} \] Теперь уравнение имеет вид: \[ y' + \frac{1}{x} \cdot y = 1 + \frac{1}{x} \] Это линейное уравнение первого порядка вида \( y' + p(x) \cdot y = q(x) \), где:
Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) для решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка находится по формуле:
\[ \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} \] В нашем случае \( p(x) = \frac{1}{x} \), поэтому:
\[ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} = e^{\ln |x|} = |x| \] Предполагая, что \( x > 0 \), интегрирующий множитель будет:
\[ \mu(x) = x \]
Умножим всё уравнение на \( x \):
\[ x \cdot y' + y = x \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \] Левая часть уравнения теперь представляет производную произведения \( (x \cdot y)' \) (это специальное свойство):
\[ (x \cdot y)' = x + 1 \]
Интегрируем левую и правую части относительно \( x \):
\[ \int (x \cdot y)' \, dx = \int (x + 1) \, dx \] Получаем: \[ x \cdot y = \frac{x^2}{2} + x + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
\[ y = \frac{x^2}{2x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \] Упрощаем: \[ y = \frac{x}{2} + 1 + \frac{C}{x} \]
Общее решение уравнения: \[ y(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{C}{x} \] где \( C \) — произвольная константа, которая определяется исходя из начальных условий, если они заданы.
Теперь выразим \( y \) через \( x \):