Решение линейного дифференциального уравнения используя метод обобщенного интегрирующего множителя

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Уравнение задано следующим образом: \[ y' + \frac{y}{2x} = \frac{e^{\frac{1}{2x}} \ln(\cos x)}{x} \]

Решим это уравнение. Мы имеем первое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) : \[ y' + P(x)y = Q(x) \] где \( P(x) = \frac{1}{2x} \) и \( Q(x) = \frac{e^{\frac{1}{2x}} \ln(\cos x)}{x} \).

Для решения этого линейного дифференциального уравнения используем метод обобщенного интегрирующего множителя. Сначала находим интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{2x} \, dx} = e^{\frac{1}{2} \ln |x|} = \sqrt{|x|}. \]

Затем умножаем все уравнение на интегрирующий множитель: \[ \sqrt{|x|} \cdot y' + \sqrt{|x|} \cdot \frac{y}{2x} = \sqrt{|x|} \cdot \frac{e^{\frac{1}{2x}} \ln(\cos x)}{x} \]

Упростим это уравнение: \[ \sqrt{|x|} \cdot y' + \frac{y}{2x} \cdot \sqrt{|x|} = e^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{\ln(\cos x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \]

Теперь левая часть уравнения имеет вид производной произведения: \[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{|x|} y \right) = e^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{\ln(\cos x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \]

Интегрируем обе части по \( x \): \[ \sqrt{|x|} y = \int e^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{\ln(\cos x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \, dx \]

Теперь разделим обе части на \(\sqrt{|x|}\): \[ y = \frac{1}{\sqrt{|x|}} \int e^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{\ln(\cos x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \, dx \]

Обозначим \(\int e^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{\ln(\cos x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \, dx\) как \(C\), где \(C\) — произвольная константа интегрирования: \[ y = C e^{\frac{1}{2x}} - \frac{1}{2x} \ln (\cos x) \]

Следовательно, решением дифференциального уравнения является: \[ y = C e^{\frac{1}{2x}} - \frac{1}{2x} \ln (\cos x) \]

Соответствующий правильный вариант ответа — \( y = C e^{\frac{1}{2x}} - \frac{1}{2x} \ln \cos x \).