Решение линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Оно связано с математикой, в частности с разделом дифференциальных уравнений (подраздел - однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка).

Формулировка и анализ задачи:

Задано уравнение: \[ U_{xx} - U = 0 \]

• \(U_{xx}\) обозначает вторую производную функции \(U(x)\) по переменной \(x\).
• \(U\) — просто функция от переменной \(x\), без производной.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Нашей задачей будет решить его, то есть найти функцию \(U(x)\), удовлетворяющую этому уравнению.

Шаг 1. Общий вид характеристического уравнения

Сначала мы используем стандартный метод для решения таких уравнений. Нам требуется предположить решение в виде экспоненциальной функции: \[ U(x) = e^{rx} \]

Подставляем это выражение в исходное уравнение. Для этого найдём вторую производную от \(U(x)\):

\[ U_{xx} = r^2 e^{rx} \]

Теперь подставляем \(U(x)\) и \(U_{xx}\) в уравнение:

\[ r^2 e^{rx} - e^{rx} = 0 \]

Факторизуем:

\[ e^{rx}(r^2 - 1) = 0 \]

Так как экспонента \(e^{rx} \neq 0\), то:

\[ r^2 - 1 = 0 \]

Решаем это квадратное уравнение:

\[ r^2 = 1 \]

Следовательно, \(r = \pm 1\).

Шаг 2. Общее решение

Теперь, имея два значения для параметра \(r\) (то есть \(r = 1\) и \(r = -1\)), можем записать общее решение уравнения:

\[ U(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} \]

Здесь \(c_1\) и \(c_2\) — произвольные константы, которые могут быть определены из начальных или граничных условий задачи (если такие будут даны дополнительно).

Ответ:

Общее решение уравнения \(U_{xx} - U = 0\) — это:

\[ U(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} \]