Решение дифференциальных уравнений с использованием разложения решения в степенной ряд

Задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", а конкретнее — к одному из методов решения дифференциальных уравнений с использованием разложения решения в степенной ряд. Требуется найти три первых, отличных от нуля, члена разложения функции \( y = f(x) \), являющейся решением заданного дифференциального уравнения, при заданном начальном условии.

Уравнение в задаче 647:

\[ y' = e^{-2x} + y^2, \] \[ y(0) = 0. \]

Шаг 1: Разложение функции \( y \) в степенной ряд.

Предположим, что решение \( y(x) \) можно разложить в ряд Тейлора:

\[ y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \]

Где \( a_0, a_1, a_2, \dots \) — коэффициенты ряда, которые нужно будет найти. Из начального условия \( y(0) = 0 \), получаем:

\[ a_0 = 0. \]

Таким образом, ряд принимает вид:

\[ y(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \]

Шаг 2: Найдём производную \( y' \).

Поскольку:

\[ y(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots, \]

то

\[ y'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots \]

Шаг 3: Подставим \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение.

Подставим это разложение в исходное дифференциальное уравнение:

\[ y' = e^{-2x} + y^2. \]

Левая часть:

\[ y' = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots \]

Правая часть: сначала найдём разложение \( y^2 \). Так как:

\[ y(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots, \]

то

\[ y^2 = (a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots)^2 = a_1^2 x^2 + 2a_1 a_2 x^3 + \dots \]

Разложение экспоненты \( e^{-2x} \) записывается как:

\[ e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \dots \]

Таким образом, правая часть уравнения:

\[ e^{-2x} + y^2 = 1 - 2x + (2 + a_1^2) x^2 + \dots \]

Шаг 4: Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях.

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) в уравнении:

\[ a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots = 1 - 2x + (2 + a_1^2) x^2 + \dots \]

1. Для \( x^0 \): \( a_1 = 1 \).
2. Для \( x^1 \): \( 2a_2 = -2 \), откуда \( a_2 = -1 \).
3. Для \( x^2 \): \( 3a_3 = 2 + a_1^2 = 2 + 1 = 3 \), откуда \( a_3 = 1 \).

Ответ:

Первые три ненулевые члена разложения функции \( y(x) \):

\[ y(x) = x - x^2 + x^3 + \dots \]