Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам нужна задача Коши, которая предполагает решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Зададимся решением уравнения:
\[ y'' + 8y' + 16y = 16x^2 - 16x + 66, \]
с начальными условиями:
\[ y(0) = 3, \quad y'(0) = 0. \]
Сначала решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:
\[ y'' + 8y' + 16y = 0. \]
Решим его через характеристическое уравнение:
\[ r^2 + 8r + 16 = 0. \]
Это квадратное уравнение:
\[ r^2 + 8r + 16 = (r + 4)^2 = 0. \]
Значит, корень уравнения:
\[ r_1 = r_2 = -4. \]
В случае совпадающих корней общего решения однородного уравнения имеет вид:
\[ y_h(x) = (C_1 + C_2x) e^{-4x}. \]
Теперь найдём частное решение для неоднородного уравнения. Правая часть уравнения — это полином \((16x^2 - 16x + 66)\). Попробуем искать частное решение в виде полинома второй степени:
\[ y_p(x) = Ax^2 + Bx + C. \]
Подставим это в исходное уравнение и найдём коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\). Найдём первую производную:
\[ y_p'(x) = 2Ax + B, \]
и вторую производную:
\[ y_p''(x) = 2A. \]
Теперь подставим в уравнение:
\[ 2A + 8(2Ax + B) + 16(Ax^2 + Bx + C) = 16x^2 - 16x + 66. \]
Приведём левую часть:
\[ 2A + 16Ax + 8B + 16Ax^2 + 16Bx + 16C = 16x^2 - 16x + 66. \]
Сгруппируем однотипные члены:
\[ 16Ax^2 + (16A + 16B)x + (2A + 8B + 16C) = 16x^2 - 16x + 66. \]
Для того чтобы уравнение выполнялось при всех значениях \((x)\), соответствующие коэффициенты при степенях \(x\) должны быть равны.
Таким образом, частное решение:
\[ y_p(x) = x^2 - 2x + 5. \]
Общее решение неоднородного уравнения:
\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x} + x^2 - 2x + 5. \]
Теперь применим начальные условия \((y(0) = 3)\) и \((y'(0) = 0)\). Для \((y(0) = 3)\):
\[ (C_1 + C_2 \cdot 0)e^0 + 0^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 3 \implies C_1 + 5 = 3 \implies C_1 = -2. \]
Найдём производную общего решения:
\[ y'(x) = (C_1 + C_2x)(-4)e^{-4x} + C_2e^{-4x} + 2x - 2. \]
При \((x = 0):\)
\[ y'(0) = (-4C_1 + C_2)e^0 + 0 - 2 = 0 \implies -4(-2) + C_2 - 2 = 0 \implies 8 + C_2 - 2 = 0 \implies C_2 = -6. \]
Подставляем найденные \(C_1\) и \(C_2\) в общее решение:
Итак, решение задачи Коши:
\[ y(x) = (-2 - 6x)e^{-4x} + x^2 - 2x + 5. \]