Решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями

Данная задача относится к разделу "Дифференциальные уравнения".

Нам нужна задача Коши, которая предполагает решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Зададимся решением уравнения:

\[ y'' + 8y' + 16y = 16x^2 - 16x + 66, \]

с начальными условиями:

\[ y(0) = 3, \quad y'(0) = 0. \]

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

\[ y'' + 8y' + 16y = 0. \]

Решим его через характеристическое уравнение:

\[ r^2 + 8r + 16 = 0. \]

Это квадратное уравнение:

\[ r^2 + 8r + 16 = (r + 4)^2 = 0. \]

Значит, корень уравнения:

\[ r_1 = r_2 = -4. \]

В случае совпадающих корней общего решения однородного уравнения имеет вид:

\[ y_h(x) = (C_1 + C_2x) e^{-4x}. \]

Шаг 2: Нахождение частного решения

Теперь найдём частное решение для неоднородного уравнения. Правая часть уравнения — это полином \((16x^2 - 16x + 66)\). Попробуем искать частное решение в виде полинома второй степени:

\[ y_p(x) = Ax^2 + Bx + C. \]

Подставим это в исходное уравнение и найдём коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\). Найдём первую производную:

\[ y_p'(x) = 2Ax + B, \]

и вторую производную:

\[ y_p''(x) = 2A. \]

Теперь подставим в уравнение:

\[ 2A + 8(2Ax + B) + 16(Ax^2 + Bx + C) = 16x^2 - 16x + 66. \]

Приведём левую часть:

\[ 2A + 16Ax + 8B + 16Ax^2 + 16Bx + 16C = 16x^2 - 16x + 66. \]

Сгруппируем однотипные члены:

\[ 16Ax^2 + (16A + 16B)x + (2A + 8B + 16C) = 16x^2 - 16x + 66. \]

Для того чтобы уравнение выполнялось при всех значениях \((x)\), соответствующие коэффициенты при степенях \(x\) должны быть равны.

  • Для \(x^2\):\) \(16A = 16 \implies A = 1\).
  • Для \(x\):\) \(16A + 16B = -16 \implies 16 + 16B = -16 \implies B = -2\).
  • Для свободного члена: \(2A + 8B + 16C = 66 \implies 2 \cdot 1 + 8 \cdot (-2) + 16C = 66 \implies 2 - 16 + 16C = 66 \implies 16C = 80 \implies C = 5\).

Таким образом, частное решение:

\[ y_p(x) = x^2 - 2x + 5. \]

Шаг 3: Общее решение

Общее решение неоднородного уравнения:

\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x} + x^2 - 2x + 5. \]

Шаг 4: Использование начальных условий

Теперь применим начальные условия \((y(0) = 3)\) и \((y'(0) = 0)\). Для \((y(0) = 3)\):

\[ (C_1 + C_2 \cdot 0)e^0 + 0^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 3 \implies C_1 + 5 = 3 \implies C_1 = -2. \]

Найдём производную общего решения:

\[ y'(x) = (C_1 + C_2x)(-4)e^{-4x} + C_2e^{-4x} + 2x - 2. \]

При \((x = 0):\)

\[ y'(0) = (-4C_1 + C_2)e^0 + 0 - 2 = 0 \implies -4(-2) + C_2 - 2 = 0 \implies 8 + C_2 - 2 = 0 \implies C_2 = -6. \]

Шаг 5: Окончательное решение

Подставляем найденные \(C_1\) и \(C_2\) в общее решение:

Итак, решение задачи Коши:

\[ y(x) = (-2 - 6x)e^{-4x} + x^2 - 2x + 5. \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн