Решение дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, равной некоторой функции

Это задание относится к разделу дифференциальных уравнений в математике. Данное уравнение: y'' + 2y' + 2y = \cos(2x) Для решения дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, равной некоторой функции, необходимо найти общее решение, которое состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решаем однородное уравнение

Для однородного уравнения: y'' + 2y' + 2y = 0 Составим характеристическое уравнение: r^2 + 2r + 2 = 0 Решим характеристическое уравнение: r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i Решения характеристического уравнения имеют вид комплексных чисел. Тогда общее решение однородного уравнения: y_h = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))

Шаг 2: Находим частное решение неоднородного уравнения

Используем метод неопределённых коэффициентов. Для правой части уравнения \cos(2x) предположим частное решение следующего вида: y_p = A \cos(2x) + B \sin(2x) Подставим y_p в уравнение: y_p' = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x) y_p'' = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x) Подставим y_p, y_p' и y_p'' в уравнение: (-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) + 2(-2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)) + 2(A \cos(2x) + B \sin(2x)) = \cos(2x) Сгруппируем по \cos(2x) и \sin(2x): (-4A + 4B + 2A) \cos(2x) + (-4B - 4A + 2B) \sin(2x) = \cos(2x) Для выполнения уравнения должно быть: \begin{cases} -2A + 4B = 1,\\ -2A - 2B = 0. \end{cases} Решим систему уравнений: Из второго уравнения: A + B = 0 A = -B Подставим A = -B в первое уравнение: 2B + 4B = 1 6B = 1 B = \frac{1}{6} И тогда: A = -\frac{1}{6} Таким образом, частное решение равняется: y_p = -\frac{1}{6} \cos(2x) + \frac{1}{6} \sin(2x)

Шаг 3: Общее решение уравнения

Общее решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения: y = y_h + y_p y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) + \left( -\frac{1}{6} \cos(2x) + \frac{1}{6} \sin(2x) \right) Таким образом, решение данного дифференциального уравнения: y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) - \frac{1}{6} \cos(2x) + \frac{1}{6} \sin(2x)