Решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Для решения дифференциального уравнения методом разделения переменных, необходимо выражать переменные так, чтобы с одной стороны уравнения оказались функции, зависящие только от \( x \), а с другой функции, зависящие только от \( y \).

Дано уравнение:

\[ \frac{dx}{\ln y} = -\cos(2x) dx \]

Шаг 1: Преобразование уравнения

Разделим переменные:

\[ \frac{dx}{\ln y} = -\cos(2x) dx \]

Удостоверимся, что можно разделить переменные \( x \) и \( y \). Перенесем все, что связано с \( y \), налево, а все, что связано с \( x \), — направо.

1. Выразим \( dx \):

\[ \frac{1}{\ln y} = -\cos(2x) \]

Шаг 2: Интегрирование

Теперь интегрируем обе части уравнения.

Интегрируем левую часть по \( y \):

\[ \int \frac{1}{\ln y} dy \]

Интегрируем правую часть по \( x \):

\[ \int -\cos(2x) dx \]

Правую часть можно интегрировать по стандартной формуле для \(\cos(2x)\):

\[ \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Итак, после интегрирования мы получим:

\[ \int \frac{1}{\ln y} dy = -\frac{1}{2} \sin(2x) + C \]

Ответ:

Посредством разделения переменных и последующего интегрирования, дифференциальное уравнение сводится к следующему уравнению:

\[ \int \frac{1}{\ln y} dy = -\frac{1}{2} \sin(2x) + C, \]

где \( C \) — константа интегрирования.