Решение дифференциального уравнения: y"-x/y=0

Для начала определим предмет и раздел предмета данного задания.

Ваше задание: $\text{(}{y}^{″}-\frac{x}{y}=0\text{)}$. Это задание относится к предмету математика, а конкретнее к разделу дифференциальных уравнений.

Теперь решим его пошагово.

Шаг 1: Перепишем уравнение для удобства

$\text{[}{y}^{″}-\frac{x}{y}=0.\text{]}$

Переносим $\text{(}\frac{x}{y}\text{)}$ в правую часть:

$\text{[}{y}^{″}=\frac{x}{y}.\text{]}$

Шаг 2: Введем новую переменную для упрощения

Пусть $\text{(}{y}^{\prime }=p\text{)}$. Тогда $\text{(}{y}^{″}=p\frac{dp}{dy}\text{)}$.

Шаг 3: Подставим новую переменную в уравнение

$\text{[}p\frac{dp}{dy}=\frac{x}{y}.\text{]}$

Шаг 4: Разделим переменные

$\text{[}pdp=\frac{x}{y}dy.\text{]}$

Шаг 5: Найдем связь между \(x\) и \(y\)

Теперь нам нужно сочетать уравнения для $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}p\text{)}$. Для этого выразим $\text{(}x\text{)}$ через $\text{(}y\text{)}$. Это можно сделать следующим образом:

$\text{[}x=y\frac{dy}{dx},\text{]}$ что вернет нас к исходной задаче, что не является удобным.

Поэтому попробуем интегрировать, переместив все функции $\text{(}p\text{)}$ на одну сторону, а $\text{(}y\text{)}$ на другую:

$\text{[}\int pdp=\int \frac{x}{y}dy.\text{]}$

Шаг 6: Интегрирование

$\text{[}\int pdp=\int \frac{x}{y}dy.\text{]}$

Левая часть:

$\text{[}\int pdp=\frac{p^2}{2}+C_1.\text{]}$

Правая часть требует замены вариаблей. Поскольку $\text{(}x=y\frac{dy}{dx}\text{)}$, уравнение сложнее решить в общем виде. Сделаем замену $\text{(}y=v(x)\text{)}$:

$\text{[}y=v,\frac{dy}{dx}=v^{\prime },\text{или}p=v(x).\text{]}$

$\text{[}x=y\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dx}.\text{]}$

Теперь мы имеем параметрические уравнения относительно $\text{(}v\text{)}$ и $\text{(}x\text{)}$.

Выражение для $\text{(}y\text{)}$: Поскольку $\text{(}p=v(x)\text{)}$, интеграл справа не имеет смысла без конкретного значения функции $\text{(}v(x)\text{)}$.

Шаг 8: Решение ODE

Основное уравнение требует nsp значение }' Очевидно, что точное решение зависит от начальных и граничных условий данного варинта. Без них: Общее решение неведомо точным интеграциями, следующие приближенные методы Таким образом, данное дифференциальное уравнение следует решается численно или с предпооженизации шаблонных начальных условий помощью численных решен.