Решение дифференциального уравнения: y"-x/y=0

Для начала определим предмет и раздел предмета данного задания.

Ваше задание: \( y'' - \frac{x}{y} = 0 \). Это задание относится к предмету математика, а конкретнее к разделу дифференциальных уравнений.

Теперь решим его пошагово.

Шаг 1: Перепишем уравнение для удобства

\[ y'' - \frac{x}{y} = 0. \]

Переносим \(\frac{x}{y}\) в правую часть:

\[ y'' = \frac{x}{y}. \]

Шаг 2: Введем новую переменную для упрощения

Пусть \( y' = p \). Тогда \( y'' = p \frac{dp}{dy} \).

Шаг 3: Подставим новую переменную в уравнение

\[ p \frac{dp}{dy} = \frac{x}{y}. \]

Шаг 4: Разделим переменные

\[ p \, dp = \frac{x}{y} \, dy. \]

Шаг 5: Найдем связь между \(x\) и \(y\)

Теперь нам нужно сочетать уравнения для \(y\) и \(p\). Для этого выразим \(x\) через \(y\). Это можно сделать следующим образом:

\[ x = y \frac{dy}{dx}, \] что вернет нас к исходной задаче, что не является удобным.

Поэтому попробуем интегрировать, переместив все функции \(p\) на одну сторону, а \(y\) на другую:

\[ \int p dp = \int \frac{x}{y} \, dy. \]

Шаг 6: Интегрирование

\[ \int p \, dp = \int \frac{x}{y} \, dy. \]

Левая часть:

\[ \int p \, dp = \frac{p^2}{2} + C_1. \]

Правая часть требует замены вариаблей. Поскольку \( x = y \frac{dy}{dx} \), уравнение сложнее решить в общем виде. Сделаем замену \( y = v(x) \):

\[ y = v, \quad \frac{dy}{dx} = v', \quad \text{или} \quad p = v(x). \]

\[ x = y \frac{dy}{dx} = v \frac{dv}{dx}. \]

Теперь мы имеем параметрические уравнения относительно \(v\) и \(x\).

Выражение для \(y\): Поскольку \(p = v(x)\), интеграл справа не имеет смысла без конкретного значения функции \(v(x)\).

Шаг 8: Решение ODE

Основное уравнение требует nsp значение }' Очевидно, что точное решение зависит от начальных и граничных условий данного варинта. Без них: Общее решение неведомо точным интеграциями, следующие приближенные методы Таким образом, данное дифференциальное уравнение следует решается численно или с предпооженизации шаблонных начальных условий помощью численных решен.