Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решение дифференциальное уравнение первого порядка
Условие:
Решение функция
Решение:
Задание относится к разделу математики, в частности к дифференциальным уравнениям.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' + y \tan{x} = \frac{1}{\cos{x}}. \]1. Сначала запишем уравнение в стандартной форме линейного уравнения:
\[ y' + P(x)y = Q(x). \] В нашем случае: \[ P(x) = \tan{x}, \] \[ Q(x) = \frac{1}{\cos{x}}. \]2. Находим интегрирующий множитель.
Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) для данного уравнения находится по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \tan{x} dx}. \] Интеграл \(\int \tan{x} dx\) равен \(-\ln|\cos{x}|\): \[ \mu(x) = e^{-\ln|\cos{x}|} = \frac{1}{|\cos{x}|}. \] Заметим, что \(\cos{x}\) положителен в интервалах, где \(\cos{x} \neq 0\), поэтому: \[ \mu(x) = \frac{1}{\cos{x}}. \]3. Умножаем обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель.
\[ \frac{1}{\cos{x}} y' + \frac{y \tan{x}}{\cos{x}} = \frac{1}{\cos{x} \cos{x}}. \] \[ \frac{1}{\cos{x}} y' + \frac{y \sin{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1}{\cos^2{x}}. \] \[ \frac{1}{\cos{x}} y' + y \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1}{\cos^2{x}}. \] Так как: \[ \frac{d}{dx}\left( y \cdot \frac{1}{\cos{x}} \right) = y' \cdot \frac{1}{\cos{x}} + y \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos{x}} \right), \] и \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos{x}} \right) = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}, \] то получаем: \[ \frac{d}{dx}\left( y \cdot \frac{1}{\cos{x}} \right) = \frac{1}{\cos^2{x}}. \]4. Интегрируем обе части уравнения:
\[ \int \frac{d}{dx}\left( y \cdot \frac{1}{\cos{x}} \right) dx = \int \frac{1}{\cos^2{x}} dx. \] Левая часть интеграла равна: \[ y \cdot \frac{1}{\cos{x}}. \] Правая часть интеграла: \[ \int \sec^2{x} dx = \tan{x} + C, \] где \(\(C\) — произвольная постоянная интегрирования.5. Получаем общее решение уравнения:
\[ y \cdot \frac{1}{\cos{x}} = \tan{x} + C. \] При умножении обеих частей уравнения на \(\cos{x}\), получаем: \[ y = \sin{x} + C \cos{x}. \] Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: \[ y = \sin{x} + C \cos{x}. \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку