Разложение решений дифференциальных уравнений в ряд Тейлора

Предмет: Математика (Дифференциальные уравнения)

Раздел: Разложение решений дифференциальных уравнений в ряд Тейлора (или степенной ряд).

Задание 649:

Нам дано дифференциальное уравнение: \[ y' = xe^x + y^2 + 1, \] с начальными условиями \( y(0) = 0. \)

Цель:

Найти три первых отличных от нуля члена разложения функции \( y(x) \) в степенной ряд.

Шаг 1: Предположим разложение решения в виде ряда

Рассмотрим, что функция \( y(x) \) может быть представлена в виде степенного ряда: \[ y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots, \] где \( a_0, a_1, a_2, a_3, \dots \) — коэффициенты разложения. Так как начальные условия нам говорят, что \( y(0) = 0 \), то \( a_0 = 0 \). Получаем: \[ y(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \]

Шаг 2: Найдем производную \( y' \)

Найдем производную ряда: \[ y'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots \]

Шаг 3: Подставим разложения в уравнение

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение \( y' = xe^x + y^2 + 1 \).

1. Правая часть:

• \( xe^x = x \cdot (1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \dots \),
• \( y^2 = (a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots)^2 = a_1^2 x^2 + 2 a_1 a_2 x^3 + \dots \),
• Таким образом, правая часть имеет вид: \[ xe^x + y^2 + 1 = 1 + x + \left(1 + a_1^2\right) x^2 + \left(\frac{1}{2} + 2a_1a_2\right) x^3 + \dots \]

2. Теперь левая часть — производная: \[ y'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots \]

Шаг 4: Сравним коэффициенты при степенях \( x \)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) в левой и правой части.

• При \( x^0 \): \( 0 = 1 \) — противоречит, но это нормально, так как начальные условия дают нам \( y'(0) = 1 \).
• При \( x^1 \): \( a_1 = 1 \).
• При \( x^2 \): \( 2a_2 = 1 + a_1^2 \). Подставив \( a_1 = 1 \): \[ 2a_2 = 1 + 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad a_2 = 1. \]
• При \( x^3 \): \( 3a_3 = \frac{1}{2} + 2a_1a_2 \). Подставим \( a_1 = a_2 = 1 \): \[ 3a_3 = \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad a_3 = \frac{5}{6}. \]

Шаг 5: Ответ

Три первых отличных от нуля члена ряда разложения функции: \[ y(x) = x + x^2 + \frac{5}{6}x^3 + \dots \]