Раздел, связанный с порядком дифференциальных уравнений и линейной зависимостью решений

Задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения" раздела, связанного с порядком дифференциальных уравнений и линейной зависимостью решений. Давайте разберём каждое утверждение:

1. График функции \( y = x^3 \) при \( x > 0 \) является интегральной кривой уравнения \( y' = 3y^{2/3} \).

Пояснение: Рассмотрим данную функцию \( y = x^3 \). Её производная будет:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2. \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта функция уравнению \( y' = 3y^{2/3} \). Для функции \( y = x^3 \), подставляем \( y \) в правую часть уравнения:

\[ 3y^{2/3} = 3(x^3)^{2/3} = 3x^2. \]

Получаем, что левая часть уравнения совпадает с правой, следовательно, график функции \( y = x^3 \) действительно является интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Это утверждение — верное.

2. Верных утверждений нет.

Это утверждение — ложное, так как первое утверждение верно.

3. Если две произвольные дифференцируемые функции линейно независимы, то их вронскиан отличен от нуля в некоторых точках.

Пояснение: Вронскиан двух функций используется для проверки их линейной зависимости. Если две функции \( f(x) \) и \( g(x) \) линейно независимы, то их вронскиан \( W(f, g) = f(x)g'(x) - f'(x)g(x) \) должен отличаться от нуля на промежутке. Согласно стандартной теореме, если функции линейно независимы, то их вронскиан не равен нулю на всем интервале (или хотя бы на некотором подмножестве этого интервала). В данном утверждении говорится, что вронскиан отличен от нуля в некоторых точках, что правильно. Это утверждение — верное.

4. Замена \( z(y) = y' \) понижает порядок уравнения \( F(y, y', y'', y^{(3)}) = 0 \).

Пояснение: Замена \( z(y) = y' \) действительно может понизить порядок уравнения, так как она уменьшает степень производных. Например, уравнение третьего порядка становится уравнением второго порядка. Это — обычный метод решения уравнений высокого порядка через введение новых переменных. Это утверждение — верное.

Ответ:

• График функции \( y = x^3 \) при \( x > 0 \) является интегральной кривой уравнения \( y' = 3y^{2/3} \).
• Если две произвольные дифференцируемые функции линейно независимы, то их вронскиан отличен от нуля в некоторых точках.
• Замена \( z(y) = y' \) понижает порядок уравнения \( F(y, y', y'', y^{(3)}) = 0 \).

Верные утверждения: