Рассмотрим решение другим способом

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
x'' + 2x' = \sin \frac{t}{2},
с начальными условиями:
x(0) = -2, \quad x'(0) = 4.

Рассмотрим решение другим способом.

1. Найдем общее решение однородного уравнения

Рассмотрим характеристическое уравнение:
r^2 + 2r = 0.
Решаем:
r(r + 2) = 0 \Rightarrow r_1 = 0, \quad r_2 = -2.
Общее решение однородного уравнения:
x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-2t}.

2. Найдем частное решение

Ищем частное решение в виде:
x_p = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}.
Находим первую и вторую производные:
x_p' = -\frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2},
x_p'' = -\frac{A}{4} \cos \frac{t}{2} - \frac{B}{4} \sin \frac{t}{2}.

Подставляем в уравнение:
\left(-\frac{A}{4} \cos \frac{t}{2} - \frac{B}{4} \sin \frac{t}{2} \right) + 2 \left(-\frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2} \right) = \sin \frac{t}{2}.

Группируем по косинусу и синусу:
\left(-\frac{A}{4} + B \right) \cos \frac{t}{2} + \left(-\frac{B}{4} - A \right) \sin \frac{t}{2} = \sin \frac{t}{2}.

Приравниваем коэффициенты:
-\frac{A}{4} + B = 0,
-\frac{B}{4} - A = 1.

Решаем систему:
B = \frac{A}{4},
-\frac{A}{4} - A = 1 \Rightarrow -\frac{5A}{4} = 1 \Rightarrow A = -\frac{4}{5}.
Тогда:
B = -\frac{1}{5}.

Частное решение:
x_p = -\frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.

3. Общее решение

x(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} -\frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.

4. Найдем константы C₁ и C₂

Используем начальные условия:
При t = 0:
x(0) = C_1 + C_2 - \frac{4}{5} = -2.
При t = 0:
x'(t) = -2C_2 + \frac{4}{10} \sin \frac{t}{2} - \frac{1}{10} \cos \frac{t}{2}.
Подставляем t = 0:
x'(0) = -2C_2 - \frac{1}{10} = 4.

Решаем систему:
C_1 + C_2 - \frac{4}{5} = -2,
-2C_2 - \frac{1}{10} = 4.

Из второго уравнения:
-2C_2 = 4 + \frac{1}{10} = \frac{40}{10} + \frac{1}{10} = \frac{41}{10},
C_2 = -\frac{41}{20}.

Подставляем во второе уравнение:
C_1 - \frac{41}{20} - \frac{4}{5} = -2.
Приводим к общему знаменателю:
C_1 - \frac{41}{20} - \frac{16}{20} = -2.
C_1 - \frac{57}{20} = -2.
C_1 = -2 + \frac{57}{20} = -\frac{40}{20} + \frac{57}{20} = \frac{17}{20}.

5. Окончательный ответ

x(t) = \frac{17}{20} - \frac{41}{20} e^{-2t} - \frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.