Рассмотреть приведение линейных уравнений второго порядка к каноническому виду в случае двух и трёх независимых переменных

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (ПДФУ) и линейная алгебра (преобразования, канонический вид, матрица Якоби)

Задание:

Рассмотреть приведение линейных уравнений второго порядка к каноническому виду в случае двух и трёх независимых переменных. Также требуется пояснить, что такое матрица Якоби и как она используется в этом контексте.

1. Общий вид линейного уравнения второго порядка

Для двух переменных (например, x и y) общее линейное уравнение второго порядка имеет вид:

 A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{нижние производные} = 0 

Для трёх переменных (например, x, y, z) общее уравнение второго порядка выглядит как:

 \sum_{i,j=1}^{3} A_{ij}(x,y,z) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \text{нижние производные} = 0 

где x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, и A_{ij} = A_{ji} — симметричная матрица коэффициентов при вторых производных.

2. Приведение к каноническому виду

Цель — упростить уравнение с помощью замены переменных, чтобы избавиться от смешанных производных и привести уравнение к одному из стандартных (канонических) видов: эллиптический, гиперболический или параболический.

2.1. В случае двух переменных

Рассматриваем квадратичную форму:

 Q = A \, dx^2 + 2B \, dx \, dy + C \, dy^2 

Эта форма соответствует части уравнения со вторыми производными. Преобразованием переменных (например, поворотом координат) можно привести её к каноническому виду:

• Эллиптический тип: Q = \lambda_1 d\xi^2 + \lambda_2 d\eta^2, с \lambda_1, \lambda_2 > 0
• Гиперболический тип: Q = d\xi^2 - d\eta^2
• Параболический тип: Q = d\xi^2 (вторая производная только по одной переменной)

Для этого используется диагонализация матрицы коэффициентов:

 \begin{bmatrix} A & B \ B & C \end{bmatrix} 

Собственные значения этой матрицы определяют тип уравнения.

3. Матрица Якоби

Матрица Якоби — это матрица первых производных новых переменных по старым. Если мы делаем замену переменных:

 \xi = \xi(x, y), \quad \eta = \eta(x, y) 

то матрица Якоби имеет вид:

 J = \begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} \ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} \end{bmatrix} 

Матрица Якоби используется для:

• Проверки обратимости замены переменных (если \det J \ne 0)
• Преобразования производных из старых координат в новые (по цепному правилу)

4. Пример: Приведение уравнения к каноническому виду

Пусть уравнение:

 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 

Матрица коэффициентов:

 \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} 

Собственные значения: \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2 — уравнение параболического типа.

Собственные векторы дают направление новых переменных. После замены координат уравнение примет вид:

 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0 

— канонический параболический вид.

5. В случае трёх переменных

Аналогично, но теперь матрица коэффициентов — симметричная 3 \times 3 матрица:

 A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \ A_{12} & A_{22} & A_{23} \ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix} 

Диагонализация этой матрицы (найти собственные значения и векторы) позволяет ввести новые переменные, в которых уравнение принимает канонический вид:

 \lambda_1 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + \lambda_2 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \lambda_3 \frac{\partial^2 u}{\partial \zeta^2} = 0 

Тип уравнения определяется знаками \lambda_i.

Вывод

• Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду основано на анализе квадратичной формы, связанной с вторыми производными.
• Тип уравнения (эллиптический, гиперболический, параболический) определяется по собственным значениям матрицы коэффициентов.
• Замена переменных требует вычисления матрицы Якоби для перехода между координатами.
• В случае трёх переменных используется аналогичная процедура с симметричной 3 \times 3 матрицей.