Рассмотреть дифференциальное уравнение

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
2y(y' + 2) - xy'^2 = 0

Решение:

1. Введем обозначение y' = p, тогда уравнение принимает вид: 2y(p + 2) - xp^2 = 0.

2. Раскроем скобки: 2yp + 4y - xp^2 = 0.

3. Перепишем уравнение в стандартной форме: xp^2 - 2yp - 4y = 0.

Это квадратное уравнение относительно p. Решим его по формуле квадратного уравнения: p = \frac{-(-2y) \pm \sqrt{(-2y)^2 - 4(x \cdot (-4y))}}{2x}.

Упростим выражение под корнем: p = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 16xy}}{2x}.

Вынесем 4 из-под корня: p = \frac{2y \pm 2\sqrt{y^2 + 4xy}}{2x}.

Сократим на 2: p = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4xy}}{x}.

Таким образом, общее решение уравнения можно найти, решая два дифференциальных уравнения: \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4xy}}{x}
или
\frac{dy}{dx} = \frac{y - \sqrt{y^2 + 4xy}}{x}.

Дальнейшее решение зависит от метода интегрирования данных уравнений.