Проверить, является ли уравнение линейным

Определение предмета:

Этот вопрос относится к разделу математики, а именно к теме дифференциальных уравнений.

Разбор утверждений:

1. Уравнение \( y' = \frac{x}{y} \) является линейным однородным.

   Чтобы проверить, является ли это уравнение линейным, вспомним, что линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

   \[ a(x) y' + b(x) y = c(x) \]

   Здесь уравнение имеет вид:

   \[ y' = \frac{x}{y} \]

   Раскроем \( y' \) через производную:

   \[ y \cdot dy = x \cdot dx \]

   Это уравнение нелинейное, потому что присутствует произведение переменных \( y \) и \( y' \), а также оно не имеет стандартную форму линейного уравнения. Следовательно, это уравнение не является линейным однородным. Это утверждение ложное.

2. Верных утверждений нет.

   Нужно проверить истинность остальных утверждений перед тем, как это утверждение подтвердить или опровергнуть.

3. Изоклины дифференциального уравнения служат приближениями к интегральным кривым этого уравнения.

   Изоклина — это линия на плоскости, вдоль которой угловой коэффициент касательной к решению дифференциального уравнения фиксирован, например, равен данному значению. Изоклины помогают "рисовать" семейства решений, но сами они не являются приближениями к решениям. Это утверждение ложное.

4. Касательная к интегральной кривой уравнения \( y' = x y^3 \) в точке \( (0, 1) \) перпендикулярна оси \( Oy \).

   Найдем касательную в точке \( (0, 1) \). Для этого нужно найти значение производной \( y' \) в этой точке. Подставляем координаты \( (x, y) = (0, 1) \) в уравнение:

   \[ y' = x y^3 = 0 \cdot 1^3 = 0. \]

   Если производная равна 0, это означает, что касательная горизонтальна и параллельна оси \( Ox \). Таким образом, касательная перпендикулярна оси \( Oy \). Это утверждение истинное.

Итог:

Верное утверждение:

• Касательная к интегральной кривой уравнения \( y' = x y^3 \) в точке \( (0, 1) \) перпендикулярна оси \( Oy \).

Ответ: (4).