Проверить, является ли функция, заданная уравнением решением для дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (проверка решения уравнения)

Задание:

Проверить, является ли функция, заданная уравнением:

y^2 - x^2 = 0

решением для дифференциального уравнения:

y'(x^2 + y^2) - 2xy = 0

Шаг 1: Найдём явный вид функции

Дано:

y^2 - x^2 = 0

Это уравнение можно переписать как:

y^2 = x^2

Следовательно, возможны два решения:

y = x и y = -x

Шаг 2: Найдём производную y'

Для каждого случая найдём производную:

1. Если y = x, то y' = 1
2. Если y = -x, то y' = -1

Шаг 3: Подставим в дифференциальное уравнение

Уравнение:

y'(x^2 + y^2) - 2xy = 0

Случай 1: y = x, y' = 1

Подставим:

1 \cdot (x^2 + x^2) - 2x \cdot x = 2x^2 - 2x^2 = 0

✅ Уравнение выполняется.

Случай 2: y = -x, y' = -1

Подставим:

-1 \cdot (x^2 + x^2) - 2x \cdot (-x) = -2x^2 + 2x^2 = 0

✅ Уравнение также выполняется.

Ответ:

Да, функция y^2 - x^2 = 0, то есть y = \pm x, является решением данного дифференциального уравнения:

y'(x^2 + y^2) - 2xy = 0