Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Задание: Проверить, является ли функция
y = c_1 \sin(7x) + c_2 \cos(7x)
решением дифференциального уравнения
y'' + 49y = 0

Шаг 1: Найдём первую и вторую производные функции

Дана функция:
y = c_1 \sin(7x) + c_2 \cos(7x)

Найдём первую производную y' по x:

 y' = c_1 \cdot 7 \cos(7x) - c_2 \cdot 7 \sin(7x) = 7c_1 \cos(7x) - 7c_2 \sin(7x) 

Теперь найдём вторую производную y'':

 y'' = -7c_1 \cdot 7 \sin(7x) - 7c_2 \cdot 7 \cos(7x) = -49c_1 \sin(7x) - 49c_2 \cos(7x) 

Шаг 2: Подставим y и y'' в уравнение

Подставим в уравнение y'' + 49y = 0:

 y'' + 49y = \left(-49c_1 \sin(7x) - 49c_2 \cos(7x)\right) + 49\left(c_1 \sin(7x) + c_2 \cos(7x)\right) 

Раскроем скобки:

 = -49c_1 \sin(7x) - 49c_2 \cos(7x) + 49c_1 \sin(7x) + 49c_2 \cos(7x) 

Сократим одинаковые слагаемые:

 = 0 

Вывод:

Так как при подстановке функция удовлетворяет уравнению y'' + 49y = 0, то
функция y = c_1 \sin(7x) + c_2 \cos(7x) является решением данного дифференциального уравнения. ✅