Проверить истинность дифференциального уравнения и найти его частное решение для заданных начальных условий

Это задание относится к предмету математики и его подотрасли, теме дифференциальных уравнений. Нам нужно проверить истинность общего решения данного дифференциального уравнения и найти его частное решение, используя начальные условия.

1. Проверка истинности дифференциального уравнения:

Исходное дифференциальное уравнение: $\text{[}\frac{dy}{dx}=-y\tan x\text{]}$

Общее решение, данное в условии: $\text{[}y=C\cos x\text{]}$

Для проверки подставим $\text{(}y=C\cos x\text{)}$ в исходное дифференциальное уравнение и посмотрим, удовлетворяет ли оно уравнению.

Найдём производную общего решения $\text{(}y=C\cos x\text{)}$:

Первоначально уравнение: $\text{[}y=C\cos x\text{]}$

Производная: $\text{[}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(C\cos x)=-C\sin x\text{]}$

Подставим это в исходное дифференциальное уравнение:

Проверка: $\text{[}-C\sin x=-C\cos x\tan x\text{]}$

Преобразуем правую часть уравнения:

Упрощение: $\text{[}-C\cos x\tan x=-C\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=-C\sin x\text{]}$

Таким образом, уравнение верно.

2. Найдем частное решение для заданных начальных условий:

Начальные условия: $\text{[}y(\pi )=1\text{]}$

Используем общее решение $\text{(}y=C\cos x\text{)}$ и подставим начальные условия:

Подстановка: $\text{[}y(\pi )=C\cos \pi =-C=1\text{]}$

Отсюда находим значение C:

Решение для C: $\text{[}-C=1\text{]}$$\text{[}C=-1\text{]}$

Подставляем обратно значение $\text{(}C\text{)}$ в общее решение:

Частное решение: $\text{[}y=-\cos x\text{]}$

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями: $\text{[}y=-\cos x\text{]}$