Проверить истинность дифференциального уравнения и найти его частное решение для заданных начальных условий

Это задание относится к предмету математики и его подотрасли, теме дифференциальных уравнений. Нам нужно проверить истинность общего решения данного дифференциального уравнения и найти его частное решение, используя начальные условия.

1. Проверка истинности дифференциального уравнения:

Исходное дифференциальное уравнение: \[ \frac{dy}{dx} = -y \tan x \]

Общее решение, данное в условии: \[ y = C \cos x \]

Для проверки подставим \( y = C \cos x \) в исходное дифференциальное уравнение и посмотрим, удовлетворяет ли оно уравнению.

Найдём производную общего решения \( y = C \cos x \):

Первоначально уравнение: \[ y = C \cos x \]

Производная: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (C \cos x) = -C \sin x \]

Подставим это в исходное дифференциальное уравнение:

Проверка: \[ -C \sin x = -C \cos x \tan x \]

Преобразуем правую часть уравнения:

Упрощение: \[ -C \cos x \tan x = -C \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -C \sin x \]

Таким образом, уравнение верно.

2. Найдем частное решение для заданных начальных условий:

Начальные условия: \[ y(π) = 1 \]

Используем общее решение \( y = C \cos x \) и подставим начальные условия:

Подстановка: \[ y(π) = C \cos π = -C = 1 \]

Отсюда находим значение C:

Решение для C: \[ -C = 1 \]\[ C = -1 \]

Подставляем обратно значение \( C \) в общее решение:

Частное решение: \[ y = -\cos x \]

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями: \[ y = -\cos x \]