Проинтегрировать однородное уравнение и через замену найти частое решение

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и однородные уравнения

Дано уравнение:
x\,dy - (x + y)\,dx = 0

Шаг 1. Приведём уравнение к виду дифференциального уравнения первого порядка

Перепишем уравнение:
x\,dy = (x + y)\,dx
Разделим обе части на x\,dx (при x \neq 0):
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

Шаг 2. Сделаем замену переменных для однородного уравнения

Положим:
v = \frac{y}{x} \implies y = vx
Тогда производная:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}

Шаг 3. Подставим в уравнение

v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v
Вычитаем v с обеих сторон:
x \frac{dv}{dx} = 1 + v - v = 1

Шаг 4. Решаем уравнение для v

x \frac{dv}{dx} = 1 \implies \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}
Интегрируем обе части по x:
\int dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v = \ln|x| + C

Шаг 5. Возвращаемся к переменной y

v = \frac{y}{x} = \ln|x| + C \implies y = x(\ln|x| + C)

Ответ:

Общее решение уравнения:
y = x \ln|x| + Cx

Таким образом, мы решили однородное уравнение через замену v = \frac{y}{x} и интегрирование.