Привести к каноническому виду

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения с частными производными

Дано уравнение:
 3u_{xz} + 2u_{yy} - u_{yz} + \frac{1}{4} u_{zz} + 36u_{xx} + u_x = 0 

1. Определение типа уравнения

Общее уравнение второго порядка с частными производными имеет вид:
 A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + 2D u_{xz} + 2E u_{yz} + F u_{zz} + \text{(производные первого порядка и свободные члены)} = 0 

В данном случае коэффициенты при вторых производных:

• A = 36
• B = 0
• C = 2
• D = 3
• E = -\frac{1}{2}
• F = \frac{1}{4}

Определим характеристическое уравнение:
 \begin{vmatrix} 36 & 0 & 3 \ 0 & 2 & -\frac{1}{2} \ 3 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{vmatrix} = 0 

Вычислим детерминант:
 \begin{vmatrix} 36 & 0 & 3 \ 0 & 2 & -\frac{1}{2} \ 3 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{vmatrix} = 36 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \ 3 & \frac{1}{4} \end{vmatrix} 

Вычислим малые детерминанты:
 \begin{vmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{vmatrix} = 2 \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} 

 \begin{vmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \ 3 & \frac{1}{4} \end{vmatrix} = 0 \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2} \cdot 3) = \frac{3}{2} 

Подставляя:
 36 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{3}{2} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{18}{2} - \frac{9}{2} = \frac{9}{2} \neq 0 

Так как определитель отличен от нуля, уравнение является гиперболическим.

2. Приведение к каноническому виду

Для гиперболического уравнения можно ввести новые переменные \xi и \eta, такие что характеристическая система становится диагональной. Для этого решаем характеристическое уравнение, находим соответствующие координаты и преобразуем уравнение.

В результате уравнение в каноническом виде принимает вид:
 u_{\xi \eta} + \text{(производные первого порядка и свободные члены)} = 0 

Таким образом, уравнение приводится к стандартной форме гиперболического уравнения.