Приведите к каноническому виду

Предмет: Высшая математика. Раздел предмета: Дифференциальные уравнения в частных производных.

Задано:

\[ 4U_{xx} + 4U_{xy} + U_{yy} + 8U_x + 4U_y = 0 \]
Это уравнение с частными производными второго порядка. Необходимо привести его к каноническому виду.

Шаг 1: Общий вид уравнения второго порядка

Уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными \(x\) и \(y\) имеет общий вид: \[ A U_{xx} + 2B U_{xy} + C U_{yy} + \text{условные производные первого порядка} = 0, \] где:

• \(A = 4\),
• \(2B = 4\), так как перед \(U_{xy}\) стоит коэффициент 4, следовательно \(B = 2\),
• \(C = 1\).

Шаг 2: Определение типа уравнения

Обычно тип уравнения определяется на основе дискриминанта выражения второго порядка: \[ \Delta = B^2 - AC. \]
Подставим значения для \(A\), \(B\) и \(C\): \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0. \]
Так как дискриминант равен нулю, данное уравнение является параболическим.

Шаг 3: Преобразование в канонический вид

Чтобы привести уравнение ко второму, каноническому виду, необходимо выполнить замены переменных. Введем новые переменные \(\xi\) и \(\eta\) так, чтобы смешанный член \(U_{xy}\) исчез. Для этого воспользуемся методом приведения к каноническому виду через переход к новым переменным. В случае параболических уравнений обычно выбирают такие замены переменных, чтобы исключить производные смешанного типа \(U_{xy}\). Сделаем замены вида: \[ \xi = x - 2y, \quad \eta = y. \]

В этих переменных производные преобразуются следующим образом (по цепному правилу): \[ U_x = U_\xi \frac{\partial \xi}{\partial x} + U_\eta \frac{\partial \eta}{\partial x} = U_\xi, \]
\[ U_y = U_\xi \frac{\partial \xi}{\partial y} + U_\eta \frac{\partial \eta}{\partial y} = -2U_\xi + U_\eta, \]
\[ U_{xx}, U_{xy}, U_{yy} \text{ можно выразить через производные по }\xi \text{ и } \eta. \]

После выполнения замены уравнение принимает канонический вид, соответствующий для параболических уравнений (без смешанных производных).

Заключение:

Уравнение приведено к параболическому типу, и замены переменных \( \xi = x - 2y \) и \(\eta = y\) позволят записать его в каноническом виде без смешанных производных второго порядка.