Приведение дифференциального уравнения к полному дифференциальному уравнению

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения". Тема заданного вопроса — приведение дифференциального уравнения к полному дифференциальному уравнению (интегрирующий множитель), а также исследование свойств области, где уравнение рассматривается.

Уравнение общего вида: $\text{[}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\text{]}$ является дифференциальным. Для того чтобы оно было полным (то есть его можно было бы интегрировать напрямую), условия должны быть выполнены определенные условия.

Рассмотрим утверждения:

1. Условие $\text{(}{P}_y^{\prime }=Q_x^{\prime }\text{)}$ необходимо для того, чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах. Это верно. Уравнение $\text{[}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\text{]}$ является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}\text{)}$. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы существовал потенциальный интеграл $\text{(}U(x,y)\text{)}$, такой что $\text{(}Pdx+Qdy=dU\text{)}$.
2. Полуплоскость – односвязная область. Это также верное утверждение. Полуплоскость не содержит дыр или разломов, поэтому она односвязна. В односвязной области, если $\text{(}P\text{)}$ и $\text{(}Q\text{)}$ – непрерывные функции и выполняется условие $\text{(}{P}_y^{\prime }=Q_x^{\prime }\text{)}$, уравнение является полным дифференциальным уравнением.
3. Интегрирующий множитель уравнения $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{y}{x}+1\text{)}$ имеет вид $\text{(}\mu =\frac{1}{x}\text{)}$. Преобразуем уравнение $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{y}{x}+1\text{)}$:

$\text{[}\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1.\text{]}$

Приведем к виду $\text{(}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=1\text{)}$. Это уравнение с разделяющимися переменными, и действительно, его интегрирующий множитель равен $\text{(}\mu (x)=\frac{1}{x}\text{)}$, так как данная форма соответствует уравнению Льенара-Бернулли с переменными.

4. Верных утверждений нет. Это утверждение неверное, поскольку верны как минимум три вышеуказанных.

Ответ:

Все первые три утверждения корректны, следовательно, правильный выбор — отметить первые три пункта.