Приведение дифференциального уравнения к полному дифференциальному уравнению

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения". Тема заданного вопроса — приведение дифференциального уравнения к полному дифференциальному уравнению (интегрирующий множитель), а также исследование свойств области, где уравнение рассматривается.

Уравнение общего вида: \[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 \] является дифференциальным. Для того чтобы оно было полным (то есть его можно было бы интегрировать напрямую), условия должны быть выполнены определенные условия.

Рассмотрим утверждения:

1. Условие \( P'_y = Q'_x \) необходимо для того, чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах. Это верно. Уравнение \[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 \] является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \). Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы существовал потенциальный интеграл \( U(x, y) \), такой что \( Pdx + Qdy = dU \).
2. Полуплоскость – односвязная область. Это также верное утверждение. Полуплоскость не содержит дыр или разломов, поэтому она односвязна. В односвязной области, если \( P \) и \( Q \) – непрерывные функции и выполняется условие \( P'_y = Q'_x \), уравнение является полным дифференциальным уравнением.
3. Интегрирующий множитель уравнения \( y' = \frac{y}{x} + 1 \) имеет вид \( \mu = \frac{1}{x} \). Преобразуем уравнение \( y' = \frac{y}{x} + 1 \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1. \]

Приведем к виду \( \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 1 \). Это уравнение с разделяющимися переменными, и действительно, его интегрирующий множитель равен \( \mu(x) = \frac{1}{x} \), так как данная форма соответствует уравнению Льенара-Бернулли с переменными.

4. Верных утверждений нет. Это утверждение неверное, поскольку верны как минимум три вышеуказанных.

Ответ:

Все первые три утверждения корректны, следовательно, правильный выбор — отметить первые три пункта.