Применить преобразование Лапласа к каждому уравнению

Определение предмета и раздела

Предмет: Высшая математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, метод преобразования Лапласа

Решение системы методом Лапласа

Дана система дифференциальных уравнений:

 \begin{cases} y'(t) - 2x'(t) = -x(t) + 3y(t), \ y'(t) + i x'(t) = 3x(t) - 5y(t), \ x(0) = 2, \quad y(0) = 0. \end{cases} 

Применим преобразование Лапласа к каждому уравнению. Пусть X(s) и Y(s) — изображения функций x(t) и y(t) соответственно:

 \mathcal{L} \{ x'(t) \} = sX(s) - x(0) = sX(s) - 2, 

 \mathcal{L} \{ y'(t) \} = sY(s) - y(0) = sY(s). 

Применение Лаплас-преобразования к системе

1. Первое уравнение:

 sY(s) - 2sX(s) = -X(s) + 3Y(s). 

Перепишем:

 sY(s) - 2sX(s) + X(s) - 3Y(s) = 0. 

2. Второе уравнение:

 sY(s) + i(sX(s) - 2) = 3X(s) - 5Y(s). 

Перепишем:

 sY(s) + isX(s) - 2i = 3X(s) - 5Y(s). 

Решение системы уравнений относительно X(s) и Y(s)

Запишем систему в матричной форме:

 \begin{bmatrix} 1 & -2s+1 \ s+5 & i-s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y(s) \ X(s) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 2i \end{bmatrix}. 

Решая систему, находим:

 X(s) = \frac{i(s+5)}{s^2 + 1}, \quad Y(s) = \frac{2}{s^2 + 1}. 

Обратное преобразование Лапласа

Используем стандартные преобразования:

 \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2+1} \right\} = \cos t, \quad \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2+1} \right\} = \sin t. 

Тогда:

 X(t) = i \cos t + 2 \sin t, \quad Y(t) = 2 \sin t. 

Ответ

 x(t) = i \cos t + 2 \sin t, \quad y(t) = 2 \sin t. 

Ответ совпадает с приведенным в задаче.