Преобразование Лапласа

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральные преобразования", в частности, преобразованию Лапласа.

Задание требует нахождения значения оригинала функции \(f(t)\) при \( t = 2 \), если её изображение \( F(p) = \frac{3}{p^2} \).

Решение:

1. Преобразование Лапласа для функции \( f(t) \) означает, что \( F(p) = \mathcal{L} \{ f(t) \} \).
2. Дана функция \( F(p) = \frac{3}{p^2} \).
3. Необходимо найти оригинал функции \( f(t) \).
4. Из таблицы обратных преобразований Лапласа известно, что \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{k}{p^{n+1}} \right\} = \frac{k t^n}{n!} \] где \( k \) и \( n \) - константы.
5. В нашем случае: \[ F(p) = \frac{3}{p^2} = \frac{3}{p^{1+1}} \] \[ k = 3, \quad n = 1 \]
6. Таким образом, \[ f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{3}{p^2} \right\} = 3 \cdot \frac{t^1}{1!} = 3t \]
7. Теперь найдём \( f(2) \): \[ f(2) = 3 \cdot 2 = 6 \]

Ответ: Значение оригинала при \( t = 2 \) равно 6.